2017.07.15【NOIP提高组】模拟赛B组 不等式(solve) 题解

原题：

http://172.16.0.132/senior/#contest/show/2061/2

题目描述：

小z热衷于数学。
今天数学课的内容是解不等式：L<=Sx<=R。小z心想这也太简单了，不禁陷入了深深的思考：假如已知L、R、S、M，满足L<=(Sx)mod M<=R的最小正整数x该怎么求呢？

输入：

第一行包含一个整数T，表示数据组数，接下来是T行，每行为四个正整数M、S、L、R。

输出：

对于每组数据，输出满足要求的x值，若不存在，输出-1。

样例输入：

1
5 4 2 3

样例输出：

2

数据范围限制：

30%的数据中保证有解并且答案小于等于10^6；
另外20%的数据中保证L=R；
100%的数据中T<=100，M、S、L、R<=10^9。

分析：

对于的做法，首先我们排除特殊情况，不妨设,0<=l<=r,0<=s<=m。
显然若存在一个的倍数满足l<=sx<=r，那么此时的答案就是x。
若不存在，我们不妨将约束式改写成代数式l<=sx-my<=r。进一步改写成以为y主元，即-r<=my-sx<=-l，再把它还原为取模的形式：(-r mod s)<=my mod s<=(-l mod s)。若能求出最小的满足上式的y值，则可以求出唯一满足上式的x值（因为区间中没有s的倍数）。
所以我们只需要将读入的四个数标准化，判断是否存在简单解以及判断无解，假如需要的话递归调用函数，直至问题解决。

实现：

#include

long long t,m,s,l,r;
long long dg(long long m,long long s,long long l,long long r)
{
    if(l==0) return 0;
    if(l>=m || l>r || s%m==0) return -1;
    s%=m;
    long long x=(l-1)/s+1;
    if(x*s<=r) return x;
    long long y=dg(s,m,(-r%s+s)%s,(-l%s+s)%s);
    if(y==-1) return y;
    x=(r+m*y)/s;
    if(s*x-m*y>=l) return (x%m+m)%m;
    return -1;
}
int main()
{
    freopen("solve.in","r",stdin);freopen("solve.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&m,&s,&l,&r);
        if(r>=m) r=m-1;
        printf("%lld\n",dg(m,s,l,r));
    }
}