高等代数题选2：多项式(2)

1.证明：若,且为与的一个组合,则是与的一个最大公因式

证：

是与的一个公因式

若是与的一个公因式

则可整除与的任一组合

是与的一个最大公因式

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2.证明：(首项系数为1)

证：

是的一个公因式

设,则

是的一个最大公因式

首项系数为1​

首项系数为1​

---

3.证明：若不全为零,则

证：

使得​

---

4.证明：若不全为零,且,则

证：

---

5.证明：若,则

证：

和使得

两式相乘可得​

---

6.设,且

证明：

证：

若不然

即

则有一个不可约因式,设为

同理可得

,矛盾

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7.证明：若,则

证：

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8.求下列多项式的公共根：

解：

与的公共根为