高等代数题选2:多项式(2)

1.证明:若,且为与的一个组合,则是与的一个最大公因式

证:

是与的一个公因式

若是与的一个公因式

则可整除与的任一组合

是与的一个最大公因式


2.证明:(首项系数为1)

证:

是的一个公因式

设,则

是的一个最大公因式

首项系数为1​

首项系数为1​


3.证明:若不全为零,则

证:

使得​


4.证明:若不全为零,且,则

证:


5.证明:若,则

证:

和使得

两式相乘可得​


6.设,且

证明:

证:

若不然

则有一个不可约因式,设为

同理可得

,矛盾


7.证明:若,则

证:


8.求下列多项式的公共根:

解:

\begin{array}{c|l|l|c}q_2(x)={1\over 2}x+{1\over 2}&x^3+2x^2+2x+1&x^4+x^3+2x^2+x+1&q_1(x)=x-1\\ &x^3+x^2+x&x^4+x^3+2x^2+x+1& \\ \hline &x^2+x+1&-x^3+1\\ &x^2+x+1&-x^3-2x^2-2x-1& \\ \hline &r_2(x)=0&r_1(x)=2x^2+2x+2\\ \end{array}

与的公共根为

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