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高数——高阶导数——学习笔记（17）

高阶导数的用处

高阶导数非常有用，二阶导可以判断函数图像的凹凸性；泰勒级数公式是用系数含有n阶导的x的幂次方表示的，而泰勒级数的作用非常强大，它可以把非常复杂的函数变成容易研究的幂函数。

高阶导数

什么是高阶导数呢？就是我求完一次导数之后，我再求一遍导数的导数，以此类推，我求了几遍它就叫几阶导数。具体用符号怎么写，我先举几个例子之后再讲。举个例子（下面的几个例子我都只求到二阶）：

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它的导数就是y′=3，但是我要是再求一遍导数（求y′=3的导数）那就是0了。再换个例子：

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它的导数为y′=6x+4，还是再求一遍导数，y″=6。最后再看一个三角函数的：
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这个我们都应该背过，它的导数没有什么说的就是cosx，二阶导数就是-sinx。


高阶导数的符号

举了这么多的例子，我就是为了让你能够更好的理解它的符号：

高数——高阶导数——学习笔记（17）_第3张图片
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大家可能对y″比较容易理解，可是对d²y/dx²不太明白，你可以这样来理解，由于我求导的对象始终为x，所以分母的平方可以放在x上，而我求导的对象y却在不断地改变（一阶导数求导对象是原函数，二阶导数求导对象为一阶导数，以此类推），那么平方就不能放在y上了，就只能放在d上了。


二阶导数

我们来看看二阶导数, 设函数为 f(x) , 那么导数可以理解为 x 点处所对应的图像的斜率. 图像很陡对应导数的值很大, 向下倾斜说明导数是负的.

而二阶导数是导数的导数，它表示斜率的变化情况. 最直观的方法就是观察 f(x) 曲线的弯曲方向, 让它向上弯曲, 斜率在增加, 这时二阶导数就是正的.当它向下弯曲斜率再减少, 二阶导数就是负的.

实际问题中的加速度是帮助你理解二阶导数的最佳例子, 假设物体沿直线运动，并且你有一个它的距离-时间函数, 或许它的图像看起来就是像下面这样，随着时间的持续的增加.

它的导数就是每一时间点的速度, 其实导数的图像就像是个小山包, 先增加到一个最大值，然后减小到 0.

所以二阶导数能告诉你在某个时间点上速度的变化率，这就是加速度.

三阶导数

三阶导数就叫做急动度(Jerk), 如果急动度不为 0，那么说明加速度本身在变化.


高阶导数最大的作用就是帮助我们得到函数的近似。


莱布尼兹定理

今天要来学习高阶导数的计算了，这部分的题目也都没有什么难度，就是计算量很大，需要大家细心，耐心，走点心！通常的高阶导数计算就是先求出一阶导，然后一阶一阶计算下去，此外还可以运用莱布尼兹定理：

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