1. 向量组及其线性组合
定义 1 个有次序的数 所组成的数组称为 维向量，这 个数称为该向量的 个分量，第 个数 称为第 个分量。
维向量可写成一行或者一列，分别称为行向量与列向量，也就是行矩阵和列矩阵。
维列向量
与 维行向量
总看做是两个不同的向量。
定义 1 给定向量组 ，对于任何一组实数 ，表达式 称为向量组 的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。
定义 2 给定向量组 和向量 ，如果存在一组数 ，使 则向量 是向量组 的线性组合，这时称向量 能由向量组 线性表示。
定理 1 向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩。
定义 3 设有两个向量组 及 ，若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则称向量组 能由向量组 线性表示。若 向量组 与向量组 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
定理 2 向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩，即
推论 向量组 与向量组 等价的充分必要条件是 ，其中 是向量组 和 组成的矩阵。
定理 3 设向量组 能由向量组 线性表示，则
定理 4 向量 能由向量组 线性表示出
2. 向量组的线性相关性
定义 1 给定向量组 ，如果存在不全为0的数 ，使 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关。
向量组 线性相关，也就是在向量组 中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示。
定理 1 向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 的秩小于向量个数 ，向量组 线性无关的充分必要条件是 。
定理 2 (1) 若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关。反言之，若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关。
(2) 个 维向量组成的向量组，当维数 小于向量的个数 时一定线性相关。特别的， 个 维向量一定线性相关。
(3) 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 必能由向量组 线性表示，且表示式是惟一的。
推论 若向量组 线性无关 延伸组 线性无关
若 线性相关 缩短组 线性相关
（向量组 ，，其中 ，称 为 的延伸组（或称 为 的缩短组））
定理 3 如果向量组 可由向量组 线性表示，而且 ，那么 线性相关。即如果多数向量组能由少数向量组线性表示，那么多数向量一定线性相关。
推论 若向量组 线性无关，且它可由 线性表示，则 。
定理 4 向量组 线性相关
3. 向量组的秩
略
4. 线性方程组解的结构
定义 1 下列三种变换称为线性方程组的初等变换：
(1) 用一个非零常数项乘方程的两边
(2) 把某方程的 倍加到另一个方程上
(3) 互换两个方程的位置
线性方程组经初等变换化为阶梯型方程组后，每个方程中的第一个未知量通常称为主变量，其余的未知量称为自由变量。
定义 2 向量组 称为齐次线性方程组 的基础解系，如果：
(1) 是 的解
(2) 线性无关
(3) 的任一解均可由 线性表示
定义 3 如果 是齐次线性方程组 的一组基础解系，那么对于任意常数 ， 是齐次方程组 的通解。
定理 1 设齐次线性方程组 系数矩阵的秩 ，则 的基础解系有 个线性无关的解向量构成。
定理 2 非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等，及
若 ，则方程组有唯一解
若 ，则方程组有无穷多解
非齐次线性方程组 无解
定理 3 对非齐次线性方程组 ，若 ，且已知 是导出组 的基础解系， 是 的某个已知解，则 的通解为 其中 为任意常数。
5. 向量空间
定义 1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且集合 对于向量的加法和乘数都封闭，那么就称集合 为向量空间。
所谓封闭，是指在集合 中可以进行向量的加法及乘数两种运算。具体的说，就是：若 ，则 ；若 ，则 。
定义 2 设 为向量空间，如果 个向量 ，且满足
(i) 线性无关
(ii) 中任一向量均可由 线性表示
那么向量组 就称为向量空间 的一个基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量空间。
定义 3 如果在向量空间 中取定一个基 ，那么 中任一向量 可唯一的表示为
数组 称为向量 在基 中的坐标。
6. 向量的内积、长度及正交性
定义 1 设有 维向量
令
称为向量 与 的内积。
内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。如果用矩阵表示：当 都是列向量时，有 。
内积具有下列性质（其中 为 维向量，为实数）
(i)
(ii)
(iii)
(iv) 当 时，；当 时，；
在解析几何中，向量的数量积表示为 且在直角坐标系中有
维向量的内积是数量积的一种推广。
定义 2 令
称为 维向量 的长度（或范数）。
当 时，称 为单位向量。
向量的长度具有下述性质：
(i) 非负性
(ii) 齐次性
(iii) 三角不等式
定理 1 若 维向量 是一组两两正交的非零向量，则 线性无关。
定义 3 设 维向量 是向量空间 的一个基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称 是 的一个规范正交基。
定义 4 如果 阶矩阵 满足 那么称 为正交矩阵，简称正交阵。
上式用 的列向量来表示，即是
亦即
这也就是 个关系式
于是可以得出：方阵 为正交阵的充分必要条件是 的列向量都是单位向量，且两两正交。
正交矩阵具有下述性质：
(i) 若 为正交阵，则 也是正交阵，且 或（-1）
(ii) 若 都是正交阵，则 也是正交阵。
定义 5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换。
正交变换线段长度保持不变。
6. 方阵的特征值与特征向量
定义 1 设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式 成立，那么，这样的数 称为矩阵 的特征值，非零向量 称为矩阵 对应于特征值 的特征向量。
式也可写成这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式即
上式是以 为未知数的一元 次方程，称为矩阵 的特征方程，其左端 是 的 次多项式，记作 ，称为矩阵 的特征多项式。
设 阶矩阵 的特征值为 ，则有
(i)
(ii)
推论 若 是 的特征值，则 是 的特征值； 是 的特征值（其中 是 的多项式， 是 的多项式）。
定理 1 设 是方阵 的 个特征值， 是与之对应的特征向量，如果 各不相等，则 线性无关。
[图片上传失败...(image-3d48a5-1570675990073)]
7. 相似矩阵
定义 1 设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使 则称 是 的相似矩阵，或说矩阵 与 相似。对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵。
定理 1 若 阶矩阵 与 相似，则 与 的特征多项式相同，从而 与 的特征值亦相同。
推论 1 若 阶矩阵 与对角阵
相似，则 即是 的 个特征值。
推论 2 设 是矩阵 的特征多项式，则 。
提示：因为对角阵的特征多项式
定理 2 阶矩阵 与对角阵相似（即 能对角化）的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。
推论 3 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似。
8. 对称矩阵的对角化
定理 1 对称阵的特征值为实数。
定理 2 设 是对称阵 的两个特征值， 是对应的特征向量。若 ，则 与 正交。
定理 3 设 为 阶对称阵，则必有正交阵 ，使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元的对角阵。
推论 设 为 阶对称阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量。
定理 4 设 为实对称阵
9. 二次型及正定矩阵
定义 1 含有 个变量 的二次齐次函数
称为 元二次型，若规定 ，则二次型有矩阵表示 其中 且 是对称矩阵，称 为二次型的矩阵，秩 称为二次型的秩，记为 。
定义 2 对二次型 ，如果对任何 ，恒有 ，则称二次型 为正定二次型，并称实对称矩阵 是正定矩阵。
定理 1 元二次型 正定的充分必要条件有：
(1) 的正惯性指数为
(2) 与 合同，及存在可逆矩阵 ，使
(3) 的所有特征值均为正数
(3) 的各阶顺序主子式均大于零
推论 1 正定的必要条件是：
(1)
(2)
定义 3 两个 阶矩阵 和 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 就称矩阵 和 合同，记作 ，并称由 到 的变换为合同变换，称 为合同变换的矩阵。
10. 线性空间
定义 1 设 是一个非空集合， 为实数域。如果对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作 ；又对于任一数 与任一元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，记作 ；并且这两种运算满足以下八条运算规律（设 ）：
(i)
(ii)
(iii) 在 中存在零元素 ；对任何 ，都有
(iv) 对任何 ，都有 的负元素 ，使
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
那么， 就称为（实数域 上的）向量空间（或线性空间）， 中的元素不论其本来性质如何，统称为（实）向量。
简言之，凡满足上述八条规律的加法及乘法运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间。
线性空间的性质：
- 零元素是唯一的
- 任一元素的负元素是唯一的， 的负元素记作
- 如果 ，则 或