线性代数——向量

1. 向量组及其线性组合

定义 1     个有次序的数 所组成的数组称为 维向量,这 个数称为该向量的 个分量,第 个数 称为第 个分量。

维向量可写成一行或者一列,分别称为行向量与列向量,也就是行矩阵和列矩阵。
维列向量

与 维行向量

总看做是两个不同的向量。

定义 1     给定向量组 ,对于任何一组实数 ,表达式 称为向量组 的一个线性组合, 称为这个线性组合的系数。

定义 2     给定向量组 和向量 ,如果存在一组数 ,使 则向量 是向量组 的线性组合,这时称向量 能由向量组 线性表示。

定理 1     向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩。

定义 3     设有两个向量组 及 ,若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示,则称向量组 能由向量组 线性表示。若 向量组 与向量组 能相互线性表示,则称这两个向量组等价。

定理 2     向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩,即

推论     向量组 与向量组 等价的充分必要条件是 ,其中 是向量组 和 组成的矩阵。

定理 3     设向量组 能由向量组 线性表示,则

定理 4     向量 能由向量组 线性表示出\Leftrightarrow 非齐次线性方程组[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}]\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{s} \end{bmatrix}=\beta有解\\ \Leftrightarrow 秩 r[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}] = r[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}, \beta]

2. 向量组的线性相关性

定义 1    给定向量组 ,如果存在不全为0的数 ,使 则称向量组 是线性相关的,否则称它线性无关。

向量组 线性相关,也就是在向量组 中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示。

定理 1     向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 的秩小于向量个数 ,向量组 线性无关的充分必要条件是 。

定理 2     (1) 若向量组 线性相关,则向量组 也线性相关。反言之,若向量组 线性无关,则向量组 也线性无关。
(2) 个 维向量组成的向量组,当维数 小于向量的个数 时一定线性相关。特别的, 个 维向量一定线性相关。
(3) 设向量组 线性无关,而向量组 线性相关,则向量 必能由向量组 线性表示,且表示式是惟一的。

推论     若向量组 线性无关 延伸组 线性无关
            若 线性相关 缩短组 线性相关
(向量组 ,,其中 ,称 为 的延伸组(或称 为 的缩短组))

定理 3     如果向量组 可由向量组 线性表示,而且 ,那么 线性相关。即如果多数向量组能由少数向量组线性表示,那么多数向量一定线性相关。

推论     若向量组 线性无关,且它可由 线性表示,则 。

定理 4     向量组 线性相关\Leftrightarrow 齐次线性方程组[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}]\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{s} \end{bmatrix}=0有非零解\\ \Leftrightarrow 向量组的秩 r[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}] < s \\ \Leftrightarrow 行列式 |a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}|=0

3. 向量组的秩

4. 线性方程组解的结构

定义 1    下列三种变换称为线性方程组的初等变换:
(1) 用一个非零常数项乘方程的两边
(2) 把某方程的 倍加到另一个方程上
(3) 互换两个方程的位置
线性方程组经初等变换化为阶梯型方程组后,每个方程中的第一个未知量通常称为主变量,其余的未知量称为自由变量

定义 2    向量组 称为齐次线性方程组 的基础解系,如果:
(1) 是 的解
(2) 线性无关
(3) 的任一解均可由 线性表示

定义 3    如果 是齐次线性方程组 的一组基础解系,那么对于任意常数 , 是齐次方程组 的通解。

定理 1    设齐次线性方程组 系数矩阵的秩 ,则 的基础解系有 个线性无关的解向量构成。

定理 2    非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等,及
若 ,则方程组有唯一解
若 ,则方程组有无穷多解

非齐次线性方程组 无解

定理 3    对非齐次线性方程组 ,若 ,且已知 是导出组 的基础解系, 是 的某个已知解,则 的通解为 其中 为任意常数。

5. 向量空间

定义 1    设 为 维向量的集合,如果集合 非空,且集合 对于向量的加法和乘数都封闭,那么就称集合 为向量空间。
所谓封闭,是指在集合 中可以进行向量的加法及乘数两种运算。具体的说,就是:若 ,则 ;若 ,则 。

定义 2    设 为向量空间,如果 个向量 ,且满足
(i) 线性无关
(ii) 中任一向量均可由 线性表示
那么向量组 就称为向量空间 的一个基, 称为向量空间 的维数,并称 为 维向量空间。

定义 3    如果在向量空间 中取定一个基 ,那么 中任一向量 可唯一的表示为
数组 称为向量 在基 中的坐标。

6. 向量的内积、长度及正交性

定义 1    设有 维向量


称为向量 与 的内积。

内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数。如果用矩阵表示:当 都是列向量时,有 。

内积具有下列性质(其中 为 维向量,为实数)
(i)
(ii)
(iii)
(iv) 当 时,;当 时,;

在解析几何中,向量的数量积表示为 且在直角坐标系中有
维向量的内积是数量积的一种推广。

定义 2    令

称为 维向量 的长度(或范数)。
当 时,称 为单位向量。

向量的长度具有下述性质:
(i) 非负性
(ii) 齐次性
(iii) 三角不等式

定理 1    若 维向量 是一组两两正交的非零向量,则 线性无关。

定义 3    设 维向量 是向量空间 的一个基,如果 两两正交,且都是单位向量,则称 是 的一个规范正交基。

定义 4    如果 阶矩阵 满足 那么称 为正交矩阵,简称正交阵。
上式用 的列向量来表示,即是

亦即
这也就是 个关系式
于是可以得出:方阵 为正交阵的充分必要条件是 的列向量都是单位向量,且两两正交。

正交矩阵具有下述性质:
(i) 若 为正交阵,则 也是正交阵,且 或(-1)
(ii) 若 都是正交阵,则 也是正交阵。

定义 5    若 为正交阵,则线性变换 称为正交变换。
正交变换线段长度保持不变。

6. 方阵的特征值与特征向量

定义 1    设 是 阶矩阵,如果数 和 维非零列向量 使关系式 成立,那么,这样的数 称为矩阵 的特征值,非零向量 称为矩阵 对应于特征值 的特征向量。

式也可写成这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式即

上式是以 为未知数的一元 次方程,称为矩阵 的特征方程,其左端 是 的 次多项式,记作 ,称为矩阵 的特征多项式。

设 阶矩阵 的特征值为 ,则有
(i)
(ii)

推论    若 是 的特征值,则 是 的特征值; 是 的特征值(其中 是 的多项式, 是 的多项式)。

定理 1    设 是方阵 的 个特征值, 是与之对应的特征向量,如果 各不相等,则 线性无关。

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7. 相似矩阵

定义 1    设 都是 阶矩阵,若有可逆矩阵 ,使 则称 是 的相似矩阵,或说矩阵 与 相似。对 进行运算 称为对 进行相似变换,可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵。

定理 1    若 阶矩阵 与 相似,则 与 的特征多项式相同,从而 与 的特征值亦相同。

推论 1    若 阶矩阵 与对角阵

相似,则 即是 的 个特征值。

推论 2    设 是矩阵 的特征多项式,则 。
提示:因为对角阵的特征多项式

定理 2    阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化)的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。

推论 3    如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等,则 与对角阵相似。

8. 对称矩阵的对角化

定理 1    对称阵的特征值为实数。

定理 2    设 是对称阵 的两个特征值, 是对应的特征向量。若 ,则 与 正交。

定理 3    设 为 阶对称阵,则必有正交阵 ,使 ,其中 是以 的 个特征值为对角元的对角阵。

推论    设 为 阶对称阵, 是 的特征方程的 重根,则矩阵 的秩 ,从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量。

定理 4    设 为实对称阵 \Rightarrow 则 A 必与对角矩阵相似\\ \Rightarrow 不同特征值的特征向量必正交\\ \Rightarrow k重特征值必有k个线性无关的特征向量

9. 二次型及正定矩阵

定义 1    含有 个变量 的二次齐次函数\begin{eqnarray}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}) &=& a_{11}x_{1}^{2} + a_{22}x_{2}^{2} + \cdots + a_{nn}x_{n}^{2} \\ &&+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+ \cdots + 2a_{1n}x_{1}x_{n} \\ &&+ 2a_{23}x_{2}x_{3}+ \cdots + 2a_{2n}x_{2}x_{n} \\ &&+ \cdots +2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}\end{eqnarray}
称为 元二次型,若规定 ,则二次型有矩阵表示 其中 且 是对称矩阵,称 为二次型的矩阵,秩 称为二次型的秩,记为 。

定义 2    对二次型 ,如果对任何 ,恒有 ,则称二次型 为正定二次型,并称实对称矩阵 是正定矩阵。

定理 1    元二次型 正定的充分必要条件有:
        (1) 的正惯性指数为
        (2) 与 合同,及存在可逆矩阵 ,使
        (3) 的所有特征值均为正数
        (3) 的各阶顺序主子式均大于零

推论 1    正定的必要条件是:
        (1)
        (2)

定义 3    两个 阶矩阵 和 ,如果存在可逆矩阵 ,使得 就称矩阵 和 合同,记作 ,并称由 到 的变换为合同变换,称 为合同变换的矩阵。

10. 线性空间

定义 1    设 是一个非空集合, 为实数域。如果对于任意两个元素 ,总有唯一的一个元素 与之对应,称为 与 的和,记作 ;又对于任一数 与任一元素 ,总有唯一的一个元素 与之对应,称为 与 的积,记作 ;并且这两种运算满足以下八条运算规律(设 ):
(i)
(ii)
(iii) 在 中存在零元素 ;对任何 ,都有
(iv) 对任何 ,都有 的负元素 ,使
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
那么, 就称为(实数域 上的)向量空间(或线性空间), 中的元素不论其本来性质如何,统称为(实)向量。

简言之,凡满足上述八条规律的加法及乘法运算,就称为线性运算;凡定义了线性运算的集合,就称为向量空间。

线性空间的性质:

  • 零元素是唯一的
  • 任一元素的负元素是唯一的, 的负元素记作
  • 如果 ,则 或

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