角动量和磁矩

1.电子的磁矩

玻尔磁子

电子因轨道运动而具有磁矩:

考虑到:

改写为:

这里引入了因子（朗德因子）,

对轨道运动而言，

因为电子还具有自旋运动, 自旋也会导致电子具有磁矩,

回到电子的轨道磁矩,

角动量在方向的投影,

在方向上的取值为,

这里是玻尔磁子（Bohr magneton）, 即磁矩也是量子化的, 对电子而言, 其最小单位是玻尔磁子,

类似地，还可以定义核磁子（Nuclear magneton）

拉莫频率

Direction of precession for a negatively-charged particle. The large arrow indicates the external magnetic field, the small arrow the spin angular momentum of the particle.

磁矩, 在磁场中, 能量是：

磁矩在磁场中的力矩,

利用

i.e.,

解出:

对轨道运动而言, ,

是电子做轨道运动时的进动频率, 也叫拉莫频率(Larmor frequency)。

更一般地，可写为:

比如，对自旋运动,

旋磁比

回到公式,

可改写为,

这里的因子叫旋磁比(Gyromagnetic ratio),

对电子而言, 自旋朗德因子, 使用量子电动力学计算:

得到,

斯特恩-盖拉赫实验

s2586_stern-gerlach-experiment.gif-10.5kB

斯特恩-盖拉赫实验示意

已知炉温600K，非均匀磁场强度, 磁铁长度, 磁铁到屏的距离是, 估算银原子在屏上的分裂。

首先估算银原子的速度,

银原子质量数,

银原子飞跃磁铁的时间:

银原子磁矩,

磁矩在轴的投影,

这里,

在非均匀磁场中的受力，

银原子在垂直方向的加速度,

$a = \frac{F_z}{M} = \mp \frac{ 9.274 \times 10^{-24} J \cdot T^{-1} \times 10^3 T \cdot m^{-1} }{107.9 \times 1.66 \times 10^{-27} kg } = \frac{9.274 \times 10^{-21} }{1.79 \times 10^{-25 } } = 5.18 \times 10^4 m \cdot s^{-2}$

在垂直方向获得的速度，

张角,

银原子偏转,

考虑到银原子对称地向上、向下偏转，条纹间距为:

2.角动量相加和朗德因子

由于电子自旋运动朗德因子和电子轨道运动朗德因子不同, 导致电子总角动量和电子总磁矩不共线。

这个求和首先是向量求和，其次它们都是量子力学算符，应在量子力学意义下予以研究。由于知识的欠缺，我们先半经典地研究角动量的相加。

角动量相加

, , 三个向量一起构成一个三角形, 根据三角形的性质(两边之和大于第三边, 两边只差小于第三边), 应满足:

这里是与轨道角动量对应的量子数, 是与自旋角动量对应的量子数, 是与总角动量对应的量子数。

总角动量也是角动量，和, 一样它也满足:

的取值是整数，或半整数; ；共种取值的可能性。

（如果是两个一般的角动量, 相加, 我们有总角动量量子数: ）

比如一个电子处在p轨道，它的总角动量就是:

, 或

总磁矩

由于, , 与并不共线。

角动量相加和磁矩相加

我们现在的做法是先将投影到方向, 得到, 然后再把写为的形式, 这样我们就得到了总角动量的朗德因子。

$\mu_J = \left( -g_S\frac{e}{2m}\left| S \right| \frac{ J^2 + S^2 - L^2 }{ 2 \left|S\right| \cdot \left| J \right|} - g_L \frac{e}{2m} \left| L \right| \frac{ J^2 + L^2 - S^2 }{ 2 \left|L \right| \cdot \left| J \right|} \right) \frac{J}{\left| J \right|}$

化简可得:

朗德因子

得到：

考虑到, , 进一步可得,

在磁场中的能量

在原子物理中, 我们实际关心的是磁矩在已知磁场中的能量。

选磁场方向是轴,

即,

这里，

共种取值的可能性。