图论之最小生成树算法介绍

今天介绍两个最常用的的最小生成树算法，首先来说几个概念：

所谓生成树，通俗的说其实是原图的中的所有顶点和一部分边组成的一个子图，这个子图应该满足两个性质，一是没有环路，二是所有的顶点都有边相连，不能出现孤立的点。由“连接所有点”和“没有环路”这两点可以得到一个简单的结论：如果图中有n个顶点，则图的生成树应该有n-1条边。

所谓最小生成树，是指一个无向图的所有生成树当中边的权重之和最小的生成树。

目前有两种解决最小生成树的算法，他们的想法其实都特别简单。第一种叫Kruskal算法，它的考虑是从边出发的，每一步尝试把所有剩余的边中权重最小的边加进来，如果会导致产生回路的话就放弃，然后尝试下一条边。第二种叫Prim算法，它的考虑是基于顶点的，从起始顶点出发，每一步选择和已经建好的生成树相连的边中最小权重的边，这样就能把下一个顶点拉到生成树当中来。

首先来介绍一个Kruskal算法：

假设G(V,E)是一个由n个顶点，若干条边组成的图。我们先构造一个只有n个顶点，没有边的子图T= { V, Ø }，算法开始的时候，这个子图里面的点都是孤立的。

然后尝试从E中选择一条具有最小权值的边放到子图T当中去，若该边的两个顶点目前还没有别的路径相连，则将此边加入到T中；否则，即插入这条边会产生回路，则将此边舍去（此后永不选用这条边）。然后重新选择一条权值最小的边。如此重复下去，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。

这么说有些枯燥，我们来看个例子立即一下

上图中左边是一个无向连通图，右边是Kruskal算法的结果，括号里的数字是被选中的次序，可以看到这些边是按照权重从小到大的顺序被加进去的。

接下来介绍一下Prim算法：

设连通无向图为G(V,E)，在Prim算法中，将顶点集合V分成两个子集合T和T'：

T：当前生成树顶点集合，

T'：不属于当前生成树的顶点集合。

很显然有：T∪T'= V。

Prim算法的具体过程为：

首先无向图G中选择一个顶点作为起始点，将它加入到集合T中；然后选择与所有横跨T与T’的边中权重最小的边e，将e在T’中的顶点从T’中删除，然后加入到顶点集合T中。以后每一步都选择横跨T与T’中权重最小的边，把它从T’中搬家搬到T中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合T中为止。还是上面的例子，看看Prim算法跑的结果。

从右图中可以看出，Prim算法是按照一步步扩大生成树的方法插入边的。

好了，最后把Kruskal和Prim算法的结果放在一起，大家感受一下区别