线性代数笔记26——傅立叶级数

  法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。

构建傅立叶级数的基础

  如果有一组n维空间的标准正交基向量q1,q2,…,qn,则n维空间内的任意向量v都可以用这组基的线性组合表示:

  正交基向量:q1,q2,…,qn中的向量两两垂直(更多内容参考 线性代19——格拉姆-施密特正交化)。

  对于标准正交向量来说,当i≠j时,qiTqj=0,当i=j时,qiTqj=1,可以根据这一特性在等式两侧同时乘以qiT,从而得到每个分量的系数xi的表达式:

  也可以用矩阵相乘的方式表示v

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  由于Q的列是标准正交的,所以Q的逆等于Q的转置:

  上述内容的关键是Q中的向量是标准正交的,标准正交也是在构建傅里叶级数的基础。

傅立叶级数

  对于任意一个周期函数f(x),都可以使用傅里叶级数展开:

  与之前有限个标准正交向量线性组合成的矩阵不同,这个维度是无限的,但关键的性质还是正交,正交性对sinx和cosx仍然成立,这使得傅里叶级数有意义,它的一组基是1, cosx, sinx, cos2x, sin2x…

函数的正交性

  我们知道两个向量正交的含义,并且可以用点积等于0判断两个向量的正交性,这种判断方式也可以应用到函数上,但是函数的点积是什么?

  vw是Rn空间内的两个正交向量,这意味着二者的点积为0:

  与向量的点积展开式不同,函数是连续的,假设有两个函数f(x)和g(x),f(x)的周期是2π,我们希望尽可能用fTg的方式表示连续的累加,使得函数点积与向量点积的概念一致。积分正是函数连续累加的概念:

  由此可以验证sinx和cosx是正交的:

  用相同的方式也可以验证cosx和cos2x, sin2x…是正交的。

  采用和标准正交向量相同的方式求得傅里叶级数的a1系数:

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  同理可以求得其它系数。


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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