线性代数03

视频链接：https://www.bilibili.com/video/av15463995/?p=3
笔记参考：https://github.com/apachecn/18.06-linalg-notes/tree/master/03-%E4%B9%98%E6%B3%95%E5%92%8C%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5

1 写在前面

第三课主要讲的是矩阵的乘法，同许多学校中的代数课上所讲不同的是，吉老师（视频链接中的那位老师）给出了列的线性组合以及行的线性组合这样的观点，这种观点对于理解矩阵乘法十分有帮助。除了矩阵乘法之外，还有讲到矩阵的逆以及其存在的条件和求解方法。因为视频是很早看的了，所以大部分的笔记来源于以上github的链接中。我十分推荐吉老师的线性代数课(∩_∩)

2 矩阵乘法

如果需要计算两个矩阵相乘的结果，你会想到几种不同的方法呢？
如果是我的话，就只能想出大学时期老师讲的那一种，也就是下面要说的第一种

2.1 最常见的求解方式

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数学表达式为:

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需要注意的是矩阵A的列数需要与矩阵B的行数相等。

2.2 线性组合的思想

线性组合的思想是我听这门线性代数课中最大的收获了，它会让我在计算一些简单地矩阵相乘的时候很快的得出相应的结果，并且能够更加深刻的理解解方程的思想。

2.2.1 列的线性组合

给出一个例子，如下图

这一部分如果不好理解的话，可以联想一下解方程组的情况

这下应该好理解了吧？那再上升一个难度，如果右边的矩阵不再是一个向量（认为[3 4 5]是一个向量），而是矩阵的时候，那么 这种列的线性组合的思想是怎样的呢，也十分简单，请看下图。(我直接复制了那个github笔记中的图片，他们的笔记做的好棒呢）

也就是将矩阵B 中的每一列分解开来，B中的每一列与矩阵A相乘的过程是与之前一样哒，这样的话，只不过是多多增加一些运算，思想是一样的，如果你还没懂的话，给我发私信，包教懂：）

2.2.2 行的线性组合

有了之前的铺垫，行的线性组合的这种思想会容易接受许多，还是先来看一个矩阵相乘的例子

这一部分应该不难理解的，那么如果左边的相乘的矩阵不再是[1 2 7]这样的向量形式，而是一个矩阵的话，那么 行的线性组合的思想是怎样的呢？

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同理，将矩阵A中的每一行分来来看，取矩阵A中的每一行与矩阵B相乘得到C的每一行，就是把矩阵拆解来看，化简到我们会的那种情况，o(￣▽￣)ｄ

2.3 列乘行

第一种方法是A中每一行去乘B中的每一列， 现在变换一下思想，是不是也可以用A中的每一列去乘B 中的每一行呢？ Yes!

2.4 分块相乘

如果有一些很大的矩阵，不方便运算，或者在某些区域存在着特定的性质，那么可以分块相乘。

3 逆矩阵

3.1 逆矩阵定义

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如果矩阵不是方阵，它存在左逆和右逆，且左逆和右逆并不相等，不符合定义中的逆矩阵唯一性的要求。

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3.2 逆矩阵求解

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高斯-若尔当法

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如果理解一下这个过程，就可以给出这样的解释：虚线左侧的矩阵A经过一系列的变换得到单位矩阵，那么这一系列的变换可以理解为乘了A的逆，而虚线右边的单位矩阵在经过一些的变换之后也相当于乘了一个A的逆，所以变换完之后虚线右边的矩阵就是A的逆。

后记

感谢github上的apachecn组织，他们做了一些非常cool的工作，我的笔记大部分摘自他们，感谢这些可爱的人，希望有机会加入其中！