遍历佯谬：几乎所有的组合都不存在

  如果物理系统在不同微观态间的转移过程是遍历（或译作各态历经）的，那么根据著名的遍历定理，物理量的系综平均值将以概率1等于时间平均值。因此，统计物理学常以此为据说明系综平均值约等于实际测量值。但这推理有一项漏洞：它并没有证明时间平均值约等于实际测量值。遍历定理用的时间平均是取时间趋于无穷的极限计算的，而传统教材常想当然地以为测量的时间总是充分长，所以总能把实际测量值视作无穷时间内的平均值。遗憾的是问题正是出在时间上。

 根据Margolus–Levitin定理（此前的文章有该定理完整的证明），不同微观态间的过渡时间不能小于h/4E，其中h为普朗克常量，E为系统平均能量。记可达微观态总数为W，则遍历全体可达微观态的时间t>h(W-1)/4E.

 在室温标准大气压下，一公升单原子理想气体的热力学熵约在10^(-3)J/K的量级，从玻尔兹曼熵公式可换算得W的量级是exp(10^20).用能均分定理求得气体的E约在10^(-1)J，代入t>h(W-1)/4E即得t的下界量级约为10^10^20s，已远远超出宇宙的年龄。一个自然的推论是实际出现的微观态集合在全体中的比例甚至不到沧海一粟。

 易见这个结论有极强的普遍性。设一个平衡态体系的粒子数为N，则定温定压下E一般是随N线性增长，W却是指数增长。本来宏观系统的N都很大，因此t通常是无法实现的数字。

 这表明“体系在测量过程中遍历全部微观态，故测量结果是物理量在整个等能面上的平均值”的物理图像是完全错误的。实际测量值只会和占全体比例不足九牛一毛的微观态有关系，而且具体出现的是哪些微观态当然依赖于初始条件。所以在等能面上的遍历性根本就毫无意义，因为反正只有一个占比很小的区域是有用的，不遍历的体系只要能做到访问范围相近的区域就能起相同效果。反过来说，如果不具遍历性会导致一部分关键的微观态无法出现，时间的有限性也能对遍历体系造成同样的障碍。

 于是，疑问就产生了：为什么实际系统并没有表现出对初始条件的依赖，而是和基于遍历性假说的理论吻合得很好呢？自玻尔兹曼以来，我们一直都把遍历性或准遍历性当做是统计力学基础的一部分，但真的是如此吗？

 笔者的答案是：其实统计物理学从一开始就不需要等概率原理，也不需要遍历性，这完全是历史遗留（奇怪的是，玻尔兹曼明明自己是有考虑到时间过长的要素的）。限于篇幅，在此就不作展开了。

 由于组合数的快速增长，遍历的不可实现性几乎适用于所有类型的现实问题。例如，绝大部分可能的围棋棋局都没有意义，它们恐怕到地球毁灭的一日都不会出现的。绝大部分蛋白质链构型都不可能出现，否则我们就会遭遇利文索尔佯谬，等等。它们都是由于类似的理由：位形数随单元数指数增长，但能量/频率/态转移速率却远远跟不上指数增长。

 普遍的不可实现性本身能否提炼出一些更有用的启示呢？那便是后话了。