本文讲述的核心库：sympy
官方在线文档：http://docs.sympy.org/0.7.1/guide.html#guide
sympy是一个Python的科学计算库，用一套强大的符号计算体系完成诸如多项式求值、求极限、解方程、求积分、微分方程、级数展开、矩阵运算等等计算问题。虽然Matlab的类似科学计算能力也很强大，但是Python以其语法简单、易上手、异常丰富的三方库生态，个人认为可以更优雅地解决日常遇到的各种计算问题。
如果你遇到了一个难题，不要犹豫，来找Python，它几乎不会让你失望的。写本文的初衷也是妹子在做金融作业的时候遇到大量的计算，用普通计算器算真是工程量浩大，所以找到sympy这么个库，写代码帮忙辅助计算一下，然后在这里写博客记录下来。
安装sympy库
pip install sympy
常用的sympy内置符号
虚数单位i
In [13]: import sympy
In [14]: sympy.I
Out[14]: I
In [15]: sympy.I ** 2
Out[15]: -1
# 求-1的平方根
In [16]: sympy.sqrt(-1)
Out[16]: I
注：本文后面的示例都省略导包语句：import sympy
自然对数的底e
In [18]: sympy.E
Out[18]: E
# 求对数
In [20]: sympy.log(sympy.E)
Out[20]: 1
无穷大oo
In [26]: 1/sympy.oo
Out[26]: 0
In [27]: 1 + sympy.oo
Out[27]: oo
圆周率pi
In [60]: sympy.pi
Out[60]: pi
In [61]: sympy.sin(sympy.pi/2)
Out[61]: 1
用sympy进行初等运算
Python 2.x中用除号/做两个整数的除法，实际上是整除运算，为了防止这种情况的发生，避免不必要的麻烦，下文的所有示例一开始都加上一句：from __future__ import division，这个时候除号/本身就变成了真实除法，而//才是整除，比如：
# 导入division包之前
In [1]: 1/2
Out[1]: 0
In [2]: from __future__ import division
# 导入division包之后
In [3]: 1/2
Out[3]: 0.5
In [4]: 1//2
Out[4]: 0
求对数
# 自然对数
In [10]: sympy.log(sympy.E)
Out[10]: 1
In [11]: sympy.log(sympy.E ** 3)
Out[11]: 3
# 以10为底1000的对数
In [12]: sympy.log(1000,10)
Out[12]: 3
求平方根
In [13]: sympy.sqrt(4)
Out[13]: 2
In [14]: sympy.sqrt(-1)
Out[14]: I
求n次方根
# 求8的3次方根
In [15]: sympy.root(8,3)
Out[15]: 2
求k次方
In [21]: 2 ** 3
Out[21]: 8
In [22]: 16 ** (1/2)
Out[22]: 4.0
求阶乘
In [35]: sympy.factorial(4)
Out[35]: 24
求三角函数
以sin函数为例：
In [86]: sympy.sin(sympy.pi)
Out[86]: 0
In [87]: sympy.sin(sympy.pi/2)
Out[87]: 1
表达式与表达式求值
sympy可以用一套符号系统来表示一个表达式，如函数、多项式等，并且可以进行求值，比如：
# 首先定义x为一个符号，表示一个变量
In [96]: x = sympy.Symbol('x')
In [97]: fx = 2*x + 1
# 可以看到fx是一个sympy.core.add.Add类型的对象，也就是一个表达式
In [98]: type(fx)
Out[98]: sympy.core.add.Add
# 用evalf函数，传入变量的值，对表达式进行求值
In [101]: fx.evalf(subs={x:2})
Out[101]: 5.00000000000000
还支持多元表达式：
In [102]: x,y = sympy.symbols('x y')
In [103]: f = 2 * x + y
# 以字典的形式传入多个变量的值
In [104]: f.evalf(subs = {x:1,y:2})
Out[104]: 4.00000000000000
# 如果只传入一个变量的值，则原本输出原来的表达式
In [105]: f.evalf(subs = {x:1})
Out[105]: 2.0*x + y
用sympy解方程（组）
使用sympy.solve函数解方程，该函数通常传入两个参数，第1个参数是方程的表达式（把方程所有的项移到等号的同一边形成的式子），第2个参数是方程中的未知数。函数的返回值是一个列表，代表方程的所有根（可能为复数根）。
解最简单的方程
比如下面我们来求两个方程：
# 首先定义 `x`为一个符号，代表一个未知数
In [24]: x = sympy.Symbol('x')
# 解方程：x - 1 = 0
In [25]: sympy.solve(x - 1,x)
Out[25]: [1]
# 解方程：x ^ 2 - 1 = 0
In [26]: sympy.solve(x ** 2 - 1,x)
Out[26]: [-1, 1]
# 解方程：x ^ 2 + 1 = 0
In [27]: sympy.solve(x ** 2 + 1,x)
Out[27]: [-I, I]
把函数式赋给一个变量
有时候为了书写起来简洁，可以把一个函数式起个名字，比如：
In [30]: x = sympy.Symbol('x')
In [31]: f = x + 1
In [32]: sympy.solve(f,x)
Out[32]: [-1]
解方程组
比如要解这么个二元一次方程组：
代码如下：
# 一次性定义多个符号
In [28]: x,y = sympy.symbols('x y')
In [29]: sympy.solve([x + y - 1,x - y -3],[x,y])
Out[29]: {x: 2, y: -1}
计算求和式
计算求和式可以使用sympy.summation函数，其函数原型为：sympy.summation(f, *symbols, **kwargs)。
话不多少，举个栗子，比如求下面这个求和式子的值：
我们用初中的知识可以知道，这个式子的结果为：
5050 * 2 = 10100
下面用代码来求：
In [37]: n = sympy.Symbol('n')
In [38]: sympy.summation(2 * n,(n,1,100))
Out[38]: 10100
可见结果是正确的。
如果sympy.summation函数无法计算出具体的结果，那么会返回求和表达式。
解带有求和式的方程
比如求这么一个方程：
代码如下：
In [43]: x = sympy.Symbol('x')
In [44]: i = sympy.Symbol('i',integer = True)
In [46]: f = sympy.summation(x,(i,1,5)) + 10 * x - 15
In [47]: sympy.solve(f,x)
Out[47]: [1]
求极限
求极限用sympy.limit函数，其函数文档如下：
Signature: sympy.limit(e, z, z0, dir='+')
Docstring:
Compute the limit of e(z) at the point z0.
z0 can be any expression, including oo and -oo.
For dir="+" (default) it calculates the limit from the right
(z->z0+) and for dir="-" the limit from the left (z->z0-). For infinite
z0 (oo or -oo), the dir argument is determined from the direction
of the infinity (i.e., dir="-" for oo).
函数文档中已经说得很清楚了，下面用代码示例来求几个极限。
如果学过微积分，就会知道微积分中有3个重要的极限：
下面就用sympy.limit函数来分别求这3个极限：
In [53]: x = sympy.Symbol('x')
In [54]: f1 = sympy.sin(x)/x
In [55]: sympy.limit(f1,x,0)
Out[55]: 1
In [56]: f2 = (1+x)**(1/x)
In [57]: sympy.limit(f2,x,0)
Out[57]: E
In [58]: f3 = (1+1/x)**x
In [59]: sympy.limit(f3,x,sympy.oo)
Out[59]: E
可见三个极限的计算结果都完全正确。
求导
求导使用sympy.diff函数，传入2个参数：函数表达式和变量名，举例如下：
In [63]: x = sympy.Symbol('x')
In [64]: f = x ** 2 + 2 * x + 1
In [65]: sympy.diff(f,x)
Out[65]: 2*x + 2
In [66]: f2 = sympy.sin(x)
In [67]: sympy.diff(f2,x)
Out[67]: cos(x)
# 多元函数求偏导
In [68]: y = sympy.Symbol('y')
In [70]: f3 = x**2 + 2*x + y**3
In [71]: sympy.diff(f3,x)
Out[71]: 2*x + 2
In [72]: sympy.diff(f3,y)
Out[72]: 3*y**2
求定积分
使用sympy.integrate函数求定积分，其功能比较复杂，非常强大，下面仅仅举几个比较简单的例子。
先来求一个最简单的积分：
用
牛顿-莱布尼兹公式可以立马口算出上面这个式子的结果是1，用代码计算如下：
n [74]: x = sympy.Symbol('x')
n [75]: f = 2 * x
# 传入函数表达式和积分变量、积分下限、上限
n [76]: sympy.integrate(f,(x,0,1))
ut[76]: 1
下面来算一个复杂一点的多重积分：
其中：
我们通过口算可以求出f(x)：
所以：
下面用代码来计算上述过程：
In [82]: t,x = sympy.symbols('t x')
In [83]: f = 2 * t
In [84]: g = sympy.integrate(f,(t,0,x))
In [85]: sympy.integrate(g,(x,0,3))
Out[85]: 9
求不定积分
同样也是使用sympy.integrate函数求不定积分，下面仅仅举几个比较简单的例子。
比如求下面这个不定积分：
通过观察我们知道它的结果是：
下面用代码来计算这个不定积分的结果：
In [79]: x = sympy.Symbol('x')
In [80]: f = sympy.E ** x + 2 * x
In [81]: sympy.integrate(f,x)
Out[81]: x**2 + exp(x)
总结
从上面的一系列计算可以看出，sympy是个非常强大的科学计算库，本文所讲到的用法仅仅是它强大功能的冰山一角，还需以后在实际使用中进一步发掘。
本文所有较为复杂的数学公式都是先在MS Word的公式编辑器中编辑完之后截图到这里的。