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【好书推荐】《剑指Offer》之硬技能（编程题12~16）

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12.矩阵中的路径

题目：请设计一个函数，用来判断一个矩阵中是否存在一条包含其字符串所有字符的路径。路径可以从矩阵中的任意一格开始，每一步可以在矩阵中向左、右、上、下移动一格。如果一条路径经过了矩阵的某一格，那么该路径不能再次进入该格子。

*回溯法：适合由多个步骤组成的问题，并且每个步骤有多个选项。

 1 /**
 2 * 矩阵中是否存在给定路径
 3 * @author OKevin
 4 * @date 2019/6/4
 5 **/
 6 public class Solution {
 7 
 8    /**
 9     *
10     * @param matrix 一位数组表示矩阵
11     * @param rows 行数
12     * @param cols 列数
13     * @param path 路径
14     * @return true-存在；false-不存在
15     */
16    public boolean findPath(char[] matrix, Integer rows, Integer cols, char[] path) {
17        if (matrix == null || rows <= 0 || cols <= 0 || path == null) {
18            return false;
19        }
20        boolean[] visited = new boolean[rows * cols];
21        int pathLength = 0;
22        for (int row = 0; row < rows; row++) {
23            for (int col = 0; col < cols; col++) {
24                if (findPathCore(matrix, rows, cols, row, col, path, pathLength, visited)) {
25                    return true;
26                }
27            }
28        }
29        return false;
30    }
31 
32    private boolean findPathCore(char[] matrix, Integer rows, Integer cols, int row, int col, char[] path, int pathLength, boolean[] visited) {
33        if (pathLength == path.length) {
34            return true;
35        }
36        if (row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && matrix[row * cols + col] == path[pathLength] && !visited[row * cols + col]) {
37            visited[row * cols + col] = true;
38            pathLength++;
39            if (findPathCore(matrix, rows, cols, row, col - 1, path, pathLength, visited)
40                    || findPathCore(matrix, rows, cols, row - 1, col, path, pathLength, visited)
41                    || findPathCore(matrix, rows, cols, row, col + 1, path, pathLength, visited)
42                    || findPathCore(matrix, rows, cols, row + 1, col, path, pathLength, visited)) {
43                return true;
44            }
45            visited[row * cols + col] = false;
46 
47        }
48        return false;
49    }
50 }

13.机器人的运动范围

题目：地上有一个m行n列的小方格，一个机器人从坐标（0，0）的格子开始移动，它每次可以向上、下、左、右移动一格，但不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于k的格子。例如：当k=18，机器人能够进入方格（35，37），因为3+5+3+7=18，但不能进入（35，38），因为3+5+3+8=19。请问k=18时，机器人能够到达多少个格子。

此题有一个小的点需要靠平时的积累，数位和的计算。

 1 /**
 2 * 计算数位和
 3 * 例如：85的数位和为8+5=13
 4 * 计算过程：
 5 * 85 % 10 = 5（个位）
 6 * 85 / 10 = 8（移除个位）
 7 * 8 % 10 = 8（十位）
 8 * 5 + 8 = 13
 9 * @param number 数字
10 * @return 数位和
11 */
12 private int getDigitSum(int number) {
13    int sum = 0;
14    while (number > 0) {
15        sum += number % 10;
16        number /= 10;
17    }
18    return sum;
19 }

另外还需要注意几个临界条件：

访问的行和列一定是大于等于0；
访问的行和列一定是小于总行数和总列数（并不是小于等于，因为是从第0行开始）
行和列的数位和小于阈值
没有被访问过

row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && (getDigitSum(row) + getDigitSum(col) < threshold) && !visited[row * cols + col]

题目中看似提到了m行n列，立马想到了用二维数字来表示。实际上如果用二维数组是增加了复杂性，用一维数组同样能表示出二维数组。例如：m行n列就一共又m*n个元素，visited[m*n]。访问第1行第1列，在一维数组中则为visited[1*m+1]，访问第1行第2列则为visited[1*m+2]，也就是在一位数组中，数据是按照一列一列存放的。如果要访问第2行是2*cols+第几列。

另外既然需要求出达到多少个格子，则是需要访问格子周围即：(i - 1, j)、(i, j - 1)、(i + 1, j)、(i, j + 1)。

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 机器人的运动范围
 4 * 2019-06-18
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution {
 8    public int movingCount(int threshold, int rows, int cols) {
 9        if (threshold < 0 || rows <= 0 || cols <= 0) {
10            return 0;
11        }
12        boolean[] visited = new boolean[rows * cols];
13        int count = movingCountCore(threshold, rows, cols, 0, 0, visited);
14        return count;
15    }
16 
17    private int movingCountCore(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, boolean[] visited) {
18        int count = 0;
19        if (check(threshold, rows, cols, row, col, visited)) {
20            visited[row * cols + col] = true;
21            /**
22             * 当前访问到了(i, j)坐标，此时则继续访问(i - 1, j)、(i, j - 1)、(i + 1, j)、(i, j + 1)
23             */
24            count = 1 + movingCountCore(threshold, rows, cols, row - 1, col, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row, col-1, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row + 1, col, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row + 1, col, visited);
25        }
26        return count;
27    }
28 
29    private boolean check(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, boolean[] visited) {
30        //横坐标与纵坐标的数位和相加小于阈值，且没有访问过
31        if (row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && (getDigitSum(row) + getDigitSum(col) <= threshold) && !visited[row * cols + col]) {
32            return true;
33        }
34        return false;
35    }
36 
37    /**
38     * 计算数位和
39     * 例如：85的数位和为8+5=13
40     * 计算过程：
41     * 85 % 10 = 5（个位）
42     * 85 / 10 = 8（移除个位）
43     * 8 % 10 = 8（十位）
44     * 5 + 8 = 13
45     * @param number 数字
46     * @return 数位和
47     */
48    private int getDigitSum(int number) {
49        int sum = 0;
50        while (number > 0) {
51            sum += number % 10;
52            number /= 10;
53        }
54 
55        return sum;
56    }
57 }

14.剪绳子

题目：一段长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1且m>1），每段绳子的长度为k[0]、k[1]、……、k[m]。请问k[0]*k[1]*……*k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2，3，3的三段，此时的最大乘积是18。

这道题是求解最优化问题。理论上讲，在题目中出现最大、最小、一共有多少种解法都可以用动态规划求解。

解法一：动态规划

拿到这道题，习惯性的可能会先从由上往下的解题思路去想，比如：长度为9，可以分为几段：1，1，7；1，2，6等等。会去思考这个长度会分成几个段，再将每个段的乘积求出来，取最大的那个段。

但实际上，对于求解最优化问题，可以转换为一系列子问题。对于本题一段绳子来讲，它无论如何都至少被切为2段。例如长度为8时，可能被切为：1,7；2,6；3,5；4,4。当然还有5,3，这实际上又和前面重复了，所以一段绳子如果被切为2段，就只有n/2种可能性。

切为2段并不是最终的最大乘积长度，例如8切为了以上4种可能性的两段，并不意味着8的切成m段的最大乘积长度为15（3*5）。它当然还能切为2*3*3=18。那为什么说只需要切为2段呢？

这是因为我们需要把这个问题不断地划分为小的问题。

例如8被切为了1和7，这两段不能再继续切分，它就是最小的问题；同理，8被切为了2和6，但是6仍然可以继续被切为1和5，2和4，3和3，所以2和6并不是最小的问题，以此类推，最终推出长度为6的绳子切成m段的最大乘积是9（3*3），那么8被切为2和6时，2*9就等于18。同理继续推3和5，4和4。

上面的分析得出了什么样的结论呢？结论就是，只需要想象成2段，再各自继续切2段。也就是说假设长度为n的绳子，f(n)是它的各段最大乘积长度，它在被切第一刀时，第一段长度为（1,2,...n-1），第二段的长度为(n-1,n-2,...,1)。推出f(n)=max(f(i)*f(n-1))的关联关系。这里一定需要好好理解，切成2段后，并不是直接将两段相乘，而是再继续将各段切分直至不能再切且取最大乘积长度。

在《算法笔记》（刁瑞谢妍著）一书中对动态规划做了求解步骤的总结：

定义子问题
定义状态转换规则，即递推关系
定义初始状态

套用到这套题上，我认为就是需要明确以下3点：

该问题的核心在于求出每段的最大乘积长度，这是子问题，也就是上文所述，再被切为两段时，需要明确是否能继续切直至不能再切且取最大乘积长度。
递推关系，也已明确(n)=max(f(i)*f(n-1))
初始状态，长度为1不能切，长度为2最长为1，长度为3最长为2。

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 剪绳子——动态规划
 4 * 2019-06-19
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution1 {
 8 
 9    public int maxProductAfterCutting(int length) {
10        if (length < 2) {
11            return 0;
12        }
13        if (length == 2) {
14            return 1;
15        }
16        if (length == 3) {
17            return 2;
18        }
19        int[] products = new int[length + 1];   //数组中存储的是每段的最优解
20        //大于长度3的绳子，当然可以划分出1,2,3长度的绳子
21        products[0] = 0;
22        products[1] = 1;
23        products[2] = 2;
24        products[3] = 3;
25        int max = 0;
26        for (int i = 4; i <= length; i++) {
27            max = 0;
28            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {  //除以2的原因在上文中也以提到，将一段绳子划分为2段时，实际上中间后的切分和前面是重复的
29                int product = products[j] * products[i - j];    //递推关系f(i)*f(n-1)
30                if (max < product) {
31                    max = product;
32                }
33                products[i] = max;
34            }
35        }
36        max = products[length];
37        return max;
38    }
39 }

优点：动态规划类似于分治算法，将大的问题逐步划分为小的问题求解。

缺点：此题采用动态规划的时间复杂度为O(n^2)，且空间复杂度为O(n)

解法二：贪婪算法

贪婪算法的核心是，先挑最大的，再挑比较大的，再挑小的（贪婪嘛）。

本题对于长度为n（n>=5）的绳子应尽量多划分为长度3的段。对于长度为4的段，应划分为长度为2的段。

也即是，如果长度为10，那么10/3=3个长度为3的段，划分结果为3*3*3*1，最后一个段为1，划分为3*3*4。

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 剪绳子——贪婪算法
 4 * 2019-06-20
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution2 {
 8    public int maxProductAfterCutting(int length) {
 9        if (length < 2) {
10            return 0;
11        }
12        if (length == 2) {
13            return 1;
14        }
15        if (length == 3) {
16            return 2;
17        }
18        int timesOf3 = length / 3;
19        if (length - timesOf3 * 3 == 1) {
20            timesOf3 -= 1;
21        }
22        int timesOf2 = (length - timesOf3*3) / 2;
23        return (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2));
24    }
25 }

15.二进制中1的个数

题目：请实现一个函数，输入一个整数，输出该数二进制表示中1的个数。例如，把9表示成二进制是1001，有2位是1。因此，如果输入9，则该函数输出2。

此题可采用移位运算+与运算求解

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 移位运算+与运算
 4 * 2019-06-20
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution {
 8    public int NumberOf1(int num) {
 9        int count = 0;
10        while (num != 0) {
11            if ((num & 1) == 1) {
12                count++;
13            }
14            num = num >>> 1;    //因为运算>>>表示无符号右移，意味着如果是负数，仍然会向右移，同时用0补齐。如果使用>>有符号右移，那么符号位1永远会存在，也就是会产生死循环
15        }
16        return count;
17    }
18 }

16.数值的整数次方

题目：实现函数Math.pow，求m的n次方。

循环暴力法

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 循环暴力法
 4 * 2019-06-20
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution1 {
 8    public int pow(int m, int n) {
 9        int result = 1;
10        for (int i = 0; i < n; i++) {
11            result *= m;
12        }
13        return result;
14    }
15 }

很遗憾，这种解法连校招级都算不上，顶多算是刚学习编程时的水平。

其实这道题，并没有考查过多的算法，更多的是考查对细节的把握。一个数的整数次方，不光是整数，还有可能是负数，也有可能是0。如果数值为0，则0的幂是没有意义的。

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 考虑指数为0，负数，整数；数值为0的情况;0^0在数学上没有意义
 4 * 2019-06-21
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution2 {
 8 
 9    public double pow(int m, int n) {
10        double result = 0;
11        if (m == 0 && n < 0) {
12            return -1;
13        }
14        int absN = Math.abs(n);    //取绝对值
15        result = calc(m, absN);
16        if (n < 0) {
17            result = 1 / result;
18        }
19        return result;
20    }
21 
22    private int calc(int m, int n) {
23        int result = 1;
24        for (int i = 0; i < n; i++) {
25            result *= m;
26        }
27        return result;
28    }
29 }

改进后的代码考虑到了指数是负数的情况。但实际上这仍然有优化的空间。如果指数是32，意味着calc方法需要循环31次。然而实际上循环到一半的时候就可以求它本身。也就是说a^n/2 * a^n/2，n为偶数；a^(n-1)/2 * a^(n-1)/2 * a，n为奇数。

改进后的calc方法：

 1 private int calc(int m, int n) {
 2    if (n == 0) {
 3        return 1;
 4    }
 5    if (n == 1) {
 6        return m;
 7    }
 8    int result = calc(m, n >> 1);    //右移1位表示除以2
 9    result *= result;
10    if ((m & 1) == 1) {     //位运算判断是会否为奇数，奇数的二进制第一位一定是1与1做与运算即可判断是否为奇数，代替m%2是否等于0
11        result *= m;
12    }
13    return result;
14 }