在做多项式的时候发现自己不会伯努利数，被推荐回来做这道题。
然后就发现这真的是个大神题，而且有一些思路很重要。
以后不能再漏题丢知识点了不然被迫填坑是真的难受。
题意式子：
$ \sum\limits_{i=1}^{N} \left[ gcd \left( i,N \right) =1 \right] i^d $
经典反演：
$=\sum\limits_{i=1}^{N} i^d \sum\limits_{j|i \ and \ j|N} \mu(j)$
$=\sum\limits_{j|N} \sum\limits_{i=1}^{\frac{N}{j}} (ij)^d \mu(j)$
$=\sum\limits_{j|N} \mu(j) j^d \sum\limits_{i=1}^{\frac{N}{j}}i^d$
后面是自然数幂和的公式。如果原来没有听说过伯努利数，那么你可以凭空猜测下列结论。
如果听说过伯努利数，那么你就知道对于确定的d，$\sum\limits_{i=1}^{n} i^d =\sum\limits_{i=1}^{d+1} a_i \times n^{i}$
其中$a_i$表示一个特定的系数，不随n变化而变化。事实证明这是正确的，我不会理论证明。
这样的话就得到了一个关于n的d+1次多项式，把求和的复杂度由与n相关变为了与d相关。（伯努利数的应用）
伯努利数是有公式的：$\sum\limits_{i=1}^{n} i^d = \frac{1}{d+1} \sum\limits_{i=0}^{d} C_{d+1}^{i} B_i n^{d+1-i} $
这样的话只要我们求解出伯努力数就可以得到上面的所有$a_i$值。
但是首先我们什么也不会，其次这题的数据范围很小，所以我们可以选择将d+1个x值带入上面的多项式进行瓜丝消元，就可以求解出所有$a_i$值。
那么自然数幂和的问题（假如）我们已经解决了。继续化简原式：
$=\sum\limits_{j|N} \mu(j) j^d \sum\limits_{i=1}^{d+1}(\frac{N}{j})^i \times a_i$
$=\sum\limits_{i=1}^{d+1} a_i \sum\limits_{j|N} \mu(j) \times j^d \times (\frac{N}{j})^i$
$=\sum\limits_{i=1}^{d+1} a_i \times N^i \sum\limits_{j|N} \mu(j) \times j^{d-i}$
观察后面那个和式，它是两个积性函数相乘，依然是积性函数，而题目已经给出了质因数分解，这很方便。
再从含义出发，依次考虑每个质因子，只有在质因子的次数为0或1时对答案有贡献，其余时候$\mu(j)$均为0。
所以只用考虑1与p的和式值，然后因为是积性函数，所以对于每个质因子把结果相乘。
式子的最终形态：
$=\sum\limits_{i=1}^{d+1} a_i \times N^i \prod\limits_{j=1}^{w} (1-p_j^{d-1-i})$
确实是痛苦AC。感谢miku大神的指导。
1 #include2 #define int long long 3 #define mod 1000000007 4 int d,w,fac[105],inv[105],N=1,p[1005],t[1005],mx[102][102],ans; 5 int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;} 6 void Gauss(){ 7 for(int i=1;i<=d+1;++i){ 8 int x=pow(mx[i][i],mod-2); 9 for(int j=i;j<=d+2;++j)mx[i][j]=mx[i][j]*x%mod; 10 for(int j=i+1;j<=d+1;++j)for(int k=d+2;k>=i;--k)mx[j][k]=(mx[j][k]-mx[i][k]*mx[j][i]%mod+mod)%mod; 11 } 12 for(int i=d+1;i;--i)for(int j=i-1;j;--j)mx[j][d+2]=(mx[j][d+2]-mx[j][i]*mx[i][d+2]%mod+mod)%mod; 13 } 14 signed main(){ 15 scanf("%lld%lld",&d,&w);fac[0]=1; 16 for(int i=1;i<=d;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 17 inv[d]=pow(fac[d],mod-2); 18 for(int i=d-1;~i;--i)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod; 19 for(int i=1;i<=w;++i)scanf("%lld%lld",&p[i],&t[i]),N=N*pow(p[i],t[i])%mod; 20 for(int i=1;i<=d+1;++i)mx[i][d+2]=(mx[i-1][d+2]+pow(i,d))%mod,mx[i][1]=i; 21 for(int i=1;i<=d+1;++i)for(int j=2;j<=d+1;++j)mx[i][j]=mx[i][j-1]*i%mod; 22 Gauss(); 23 for(int i=1;i<=d+1;++i){ 24 int base=mx[i][d+2]*pow(N,i)%mod; 25 for(int j=1;j<=w;++j)base=base*(mod+1-pow(p[j],d-i+mod-1))%mod; 26 ans=(ans+base)%mod; 27 }printf("%lld\n",ans); 28 }