1060: 统计方案

题目描述

在一无限大的二维平面中，我们做如下假设：
1、每次只能移动一格；
2、不能向后走（假设你的目的地是“向上”，那么你可以向左走，可以向右走，也可以向上走，但是不可以向下走）；
3、走过的格子立即塌陷无法再走第二次。
求走n步不同的方案数（2种走法只要有一步不一样，即被认为是不同的方案）。

输入

首先给出一个正整数C，表示有C组测试数据。
接下来的C行，每行包含一个整数n（n<=20），表示要走n步。

输出

请编程输出走n步的不同方案总数；
每组的输出占一行。

样例输入

2
1
2

样例输出

3
7

思路

令f（N）为走N步的不同方案数，同理f（N-1）为走N-1步的不同方案数。

• N=1时，f（1）=3（上左右三种）；
• N=2时，f（1）表示有f（1）条不同走法的路径，每条路径可以走的步数：
  （1）如果从左边过来，就有右/上两种走法；
  （2）如果从右边过来，就有左/上两种走法；
  （3）如果从下面上来，，就有左/右/上三种走法；

那我们要不要分两类讨论呢？一种是上一步走了左右的，另一种是从下面上来的。

其实不用，因为这两种方法都是包含左/右和上的，因此可以令f（N）=2 * f（N-1）（上一步有两种走法），但是易知从N-2到N-1的走法必定包括向上走一步的走法，所以从N-1到N必定比2 * f（N-1）多一步（情况三是三种走法），即f（N）=2 * f（N-1）+1.

所以递推公式是f（N）=2 * f（N-1）+1.
终止条件是 f（1）=3；

代码（AC）

1060: 统计方案