算法设计与分析——最大团问题（回溯法）

一、问题描述

了解最大团问题（Maximum Clique Problem, MCP）之前需要明白几个概念。复习一下图论知识......

完全图：如果无向图中的任何一对顶点之间都有一条边，这种无向图称为完全图。

完全子图：给定无向图G=(V,E)。如果UV，且对任意u，vU 有(u，v)  E，则称U 是G 的完全子图。

团（最大完全子图）: U是G的团当且仅当U不包含在G 的更大的完全子图中

最大团：G 的最大团是指G中所含顶点数最多的团。

空子图：给定无向图G=(V,E)。如果UV，且对任意u，vU 有(u，v) ∉ E，则称U 是G 的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大空子图中。

独立集：对于给定无向图G=(V,E)。如果顶点集合V*V，若V*中任何两个顶点均不相邻，则称V*为G的点独立集，或简称独立集。

最大独立集：G中所含顶点数最多的独立集。

例如：

                               

                 (a)                                        (b)                             (c)                            (d)

图a是一个无向图，图b、c、d都是图a的团，且都是最大团。

补图：

图G的补图，通俗的来讲就是完全图Kn去除G的边集后得到的图Kn-G。在图论里面，一个图G的补图（complement）或者反面（inverse）是一个图有着跟G相同的点，而且这些点之间有边相连当且仅当在G里面他们没有边相连。

 

 

二、算法设计

 

 大致思路：

首先设最大团为一个空团，往其中加入一个顶点，然后依次考虑每个顶点，查看该顶点加入团之后仍然构成一个团，如果可以，考虑将该顶点加入团或者舍弃两种情况，如果不行，直接舍弃，然后递归判断下一顶点。对于无连接或者直接舍弃两种情况，在递归前，可采用剪枝策略来避免无效搜索。

为了判断当前顶点加入团之后是否仍是一个团，只需要考虑该顶点和团中顶点是否都有连接。

程序中采用了一个比较简单的剪枝策略，即如果剩余未考虑的顶点数加上团中顶点数不大于当前解的顶点数，可停止继续深度搜索，否则继续深度递归。

三、实例分析

如图1所示，给定无向图G={V, E}，其中V ={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5), (2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。根据MCP定义，子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。{1,2,5}是G的一个最大团。{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。

图2是无向图G的补图G'。根据最大独立集定义，{2,4}是G的一个空子图，同时也是G的一个最大独立集。虽然{1,2}也是G'的空子图，但它不是G'的独立集，因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。{1,2,5}是G'的最大独立集。{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。

 

以图1为例，利用回溯法搜索其空间树，具体搜索过程（见图3所示）如下：假设我们按照1®2®3®4®5的顺序深度搜索。

开始时，根结点R是唯一活结点，也是当前扩展结点，位于第1层，此时当前团的顶点数cn=0，最大团的顶点数bestn=0。

在这个扩展结点处，我们假定R和第二层的顶点1之间有边相连，则沿纵深方向移至顶点1处。此时结点R和顶点1都是活结点，顶点1成为当前的扩展结点。此时当前团的顶点数cn=1，最大团的顶点数bestn=0。继续深度搜索至第3层顶点2处，此时顶点1和2有边相连，都是活结点，顶点2成为当前扩展结点。

此时当前团的顶点数cn=2，最大团的顶点数bestn=0。再深度搜索至第4层顶点3处，由于顶点3和2有边相连但与顶点1无边相连，则利用剪枝函数剪去该枝，此时由于cn+n-i=2+5-4=3>bestn=0，则回溯到结点2处进入右子树，开始搜索。此时当前团的顶点数cn=2，最大团的顶点数bestn=0。再深度搜索至第5层顶点4处，由于顶点3和4无边相连，剪去该枝，回溯到结点3处进入右子树，此时当前团的顶点数cn=2，最大团的顶点数bestn=0。

继续深度搜索至第6层顶点5处，由于顶点5和4有边相连，且与顶点1和2都有边相连，则进入左子树搜索。由于结点5是一个叶结点，故我们得到一个可行解，此时当前团的顶点数cn=3，最大团的顶点数bestn=3。v_i的取值由顶点1至顶点5所唯一确定，即v=(1, 2, 5)。此时顶点5已不能再纵深扩展，成为死结点，我们返回到结点4处。由于此时cn+n-i=3+5-6=2<bestn=3，不能在右子树中找到更大的团，利用剪枝函数可将结点4的右结点剪去。以此回溯，直至根结点R再次成为当前的扩展结点，沿着右子树的纵深方向移动，直至遍历整个解空间。最后得到图1的按照1®2®3®4®5的顺序深度搜索的最大团为U={1,2,5}。当然{1,4,5}和{2,3,5}也是其最大团。

 四、代码描述

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxnum=101;
bool a[maxnum][maxnum];//图的邻接矩阵
bool x[maxnum]; //当前解
int cn;//当前团的顶点数
int bestn;//当前的最优解
int n;//图G的顶点数
int e;//图G的边数
void backtrack(int i)
{
    int j;
    if(i>n)
    {
        bestn=cn;
        printf("%d\n",bestn);
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            if(x[j])
            {
                printf("%d ",j);
            }
        }
        printf("\n");
        return ;
    }

    bool ok=true;
    for(j=1; j)
    {
        if(x[j]&&!a[j][i])//i与j不相连
        {
            ok=false;
            break;
        }
    }
    if(ok)//进入左子树
    {
        cn++;
        x[i]=true;
        backtrack(i+1);
        cn--;
    }
    if(cn+n-i>bestn)  //剪枝
    {
        x[i]=false;
        backtrack(i+1);
    }
}

int main()
{
    int i,u,v;
    memset(a,false,sizeof(a));
    memset(x,false,sizeof(x));
    scanf("%d%d",&n,&e);
    for(i=0; i)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        a[u][v]=true;
        a[v][u]=true;
    }
    cn=bestn=0;
    backtrack(1);
    return 0;
}

/*
5 7
1 2
1 4
1 5
2 5
2 3
3 5
4 5
*/