复变函数一般表示为。

如果函数在点z的某个邻域内处处可导, 则称在点z解析。
如果在区域D内的每一点都解析, 则称是D内的解析函数, 或称在D内解析。
解析函数也叫全纯函数或正则函数。

复变函数的定义域一般是整个复平面，也就是整个平面上。所以要让复变函数可导，需要它从各个方向过去都可导。而单变量实函数的定义域是一根实轴，只要从左右两个方向可导就可以：这是它们的区别！

解析函数的解析区域边界点（如果存在）称为其奇点。

要寻找函数可导的充要条件，首先会想到如果其实部虚部分别可导是否足够。很遗憾，它们不等价：

反例：是否可导？
对平面上的任意一点z, 有，
可以看到结果跟趋近方向有关：当水平趋近时，，结果是1；竖向趋近时是-1，所以处处不可导。但它的实部虚部都可导。

柯西黎曼方程

如果可导，设在点处可导，即，
令，，
其中，。
则。

当从实轴趋向0时， $f'(z)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y=0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x }=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+\text{i}\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta x}=u_x+\text{i} v_x$ ，
当从虚轴轴趋向0时， $f'(z)=\lim_{\Delta \rightarrow 0,\Delta x=0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\Delta x + \text{i}\Delta y}=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta u + \text{i}\Delta v}{\text{i}\Delta y }=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}-\text{i}\frac{\Delta u}{\Delta y}+\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta y}=-\text{i}u_y+v_y$ ，
因为可导，所以上面两个结果的实部虚部分别相等，即

柯西黎曼方程

这个就是柯西黎曼方程，简写 C-R方程。

反过来：是否满足柯西黎曼方程就可导呢？估计大家能猜出来：不行：

反例：函数在z=0处是否可导？
可以证明，在原点处的两个偏导都是0，所以满足C-R方程。
但是0点的导数并不存在，可以令，则，
所以趋向零点的方向角度不同结果可能就不同，因此不可导。

解析函数的充要条件

上面已经看到函数可导的必要条件是实部虚部都可微（即偏导存在且连续）且符合C-R方程。
这个也是它的充分条件！

设函数，假设其在点处实部和虚部都可导，且满足。根据二元函数微分定义，可以证明其导数存在。

下面是一些复合复变函数求导法则：

设和在z处可导，则

复解析函数的充要条件与柯西黎曼方程

柯西黎曼方程

解析函数的充要条件

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