群的陪集和商群

下面我给你一个比喻，可能会好理解得多。你把群G当成一个高中，里面的元素就是学生。这个高中有三个年级，每个年级5个班，每个班40个学生。下面来谈谈商的本质，其实商就是把有等价关系的两个元素在新的群中看成同一个，而等价关系的给出，就是由被商掉的那个群决定的。回到之前的例子，我现在把一个班级看成一个子群，就取高一一班好了，这里的等价关系就是同一个班级的学生是彼此等价的，显然互反性，传递性，对称性满足，这确实是个等价关系。那么做商以后得到的集合是什么呢，这个集合就是这个高中班级的集合，里面有十五个元素：高一一班一直到高三五班。每个元素都是一个集合，里面的元素是这个班级的学生，这样在这个商关系之下，班级也就是所谓的陪集。现在我们换一下，把年级看成等价关系，被商的子群就是一个年级，就取高一年级，这样得到的商群中的元素就是三个年级。那么什么是正规子群呢，你可以把正规子群理解为一类特殊的子群，特殊在于，商掉正规子群得到的商群有自然的群结构。在上面的例子中，可以非常不严格的把班级和年级看成正规子群，因为它们是特殊的，因为生活中我们常以班级年级作为统一的单位。那么在上面的例子中，什么可以当子群呢，你不妨把学号为1的学生全体当一个子群，此时的等价关系就是相同的学号。这样得到的商群就是40个，为什么我要把它当子群，因为在生活中你基本遇不到学校以学号来划分全体学生…在正规子群这里，类比是很不贴切的，我主要想告诉你的是正规子群是极其特殊的子群。那么最后，你不妨在这个例子中，类比一下对应定理是怎么回事？其实刚学的时候我也觉得商群这个东西很难理解，一个群商掉一个子群，相当于一个集合商掉另一个集合，得到一个新的集合，这个集合中的元素都是集合…我一开始确实是从集合的角度来理解的，于是越想越晕…后来学多了，就想出了这个例子来加深理解。最后的最后，这个例子只是直观的理解，主要是对商掉等价关系是什么意思作出解释，而舍去了群里面的运算是怎样的。希望有帮助。