Free Vibration

Content

1. concepts
2. Priciple
3. 案例1: simple pendulem
4. 案例2: simple Spring-Mass model
5. Summary window
6. Reference
7. Log

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1 Concepts

振动 Vibration

物体离开ta原本所处的位置，或某一固定位置(如平衡位置)做往复的运动就是振动。

• 人：人的耳膜振动听到外界声音
• 乐器：吉他振动发出Music（当然弹不好就会变成Noise）
• 路面汽车：汽车行驶在路面上受到路面激励所产生的振动（要是这个振动频率和人内脏的固有频率接近时，人就会有很大可能出现晕车反应）
• 天空飞机：飞机飞行时机翼振动
• 发动机振动
• 分子振动等

自由振动 Free vibration

物体（系统）不受外界激励的情况下，离开其静止位置（平衡位置）或其初始存在速度不为0而导致物体作往复运动就是自由振动。

自由响应 Free response

在自由振动下的系统的响应即为自由响应。

牛顿第二运动定律 Newton's Second Law
F = ma

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2 Priciple

The physical explanation of the phenomena of vibration concerns the interplay between potential energy and kinetic energy. A vibrating system must have a component that stores potential energy and releases it as kinetic energy in the form of motion (vibration) of a mass. The motion of the mass then gives up kinetic energy to the potential-energy storing device.

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3 案例1: 单摆

01-simple pendulem[1].JPG

先把这个单摆(铰链、杆rod 和 质量m组成)移动到某一固定位置，如简图b所示，再松开手，让其运动，该单摆就在重力作用下作自由振动，其响应就是自由响应。

在分析之前，我们需要对图(a)中的单摆系统作些假设。你看物理其实是对实际现象做一些简化，列出一些方程，再用数学的方法求解。 建模求解。

Assumption[1]：

• 忽略摩擦影响：没有能量消耗
• 不计杆子质量：质量只集中在物体mass处
• 单摆只在一个平面内作运动
• 小角度运动 θ 很小：sinθ 约等于 θ

free body diagram

在这些假设下，可作出系统的受力图 free body diagram，图b。

motion equation

使用Euler's Second Law，列出运动方程。

02-Euler 2 law [1].JPG

符号含义：

• Mo：对O点的力矩 moments about the point O
• J：对O点的物体质量的惯性矩 the mass moment of inertial of the mass m about the point O
• α：角加速度 the angular acceleration vector

03-motion equation[1].JPG

04-final motion equation[1].JPG

这样就得到了运动方程，线性运动微分方程，运用下数学知识求解，可得系统自由响应。

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4 案例2：simple Spring-Mass model

我们再来看看下图的弹簧质量系统。

05-K-M model [1].JPG

光滑地面上，质量为m的物体通过弹簧与固定处相连接，弹簧质量不计，弹簧刚度为k，最初弹簧在其平衡位置（没有伸长量），向右设为x轴正向。

假设

• 忽略阻力，能量消耗
• 不计弹簧质量
• 弹簧力在其线性范围之内

free body diagram

如图1.5 b 所示, fk 为 弹簧力 为 kx，mg 为重力。

motion equation

假如物体向右移动一点x，那么受到弹簧向左的拉力左右 fk = -kx （因为向左，符号为负），根据牛顿第二运动定律，可得到运动方程。

06-K-M eq[1].JPG

求解

令方程解为：

07-K-M-displacement[1].JPG

08-KM-velocity[1].JPG

09-KM-acceleration [1].JPG

10-KM-motion [1].JPG

设：

11-natural frequency[1].JPG

wn为系统的 固有频率 natural frequency.

类似的响应曲线

12-response curve [1].JPG

若知道初始条件，就可以求出幅值A 和初始相位。

13-initial condition [1].JPG

14-amplitude and the phase [1].JPG

15-equation of motion [1].JPG

以上 求得的解 x(t) 为KM系统的自由响应（在t=0 时，系统没有外力作用）。弹簧质量系统的运动为简谐运动 simple harmonic motion or 振荡运动 oscillatory motion.该系统也是个单自由度无阻尼系统[1]。

其中相位的求解可以通过下图三角法来求解，可以很好确定相位所在象限。

16-Trigonometric relationships [1].JPG

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5 Summary window [1]

单自由度系统的运动微分方程类似。

17-window1_1 [1].JPG

简谐运动SHM汇总。

18-SHM summary [1].JPG

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6 Reference

[1] Inman D J, Singh R C. Engineering vibration[M]. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2001.

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7 log

@安然Anifacc
2017-01-04 11:00:30