0. 符号

设矩阵，按列分块以及按行分块是
是第位为，其余为的向量：

具体尺寸根据上下文来确定。
是单位阵，具体大小由实际乘法中的位置决定。对于的单位阵可以表示为

1. 初等行变换

初等行变换包含三种运算：

调换任意两行
某一行乘以一个非零数
某一行乘以一个非零数加到另一行上

1.1 调换任意两行

设表示将单位阵的第两行互换，即

命题：的结果，等价于将的第两行互换。

$\begin{split} \boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}\boldsymbol{A} &=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e_1}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_j}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_i}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_n}^T\end{bmatrix}[\boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_i},\cdots,\boldsymbol{a_j},\cdots,\boldsymbol{a_m}]\\ &=\begin{bmatrix} \boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_m} \end{bmatrix} \end{split}$
因为，于是上面的矩阵是
$\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1i}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{1m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{j1}&\cdots&a_{ji}&\cdots&a_{jj}&\cdots&a_{jm}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&\cdots&a_{ii}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{im}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{ni}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nm} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{b_1}\\\vdots\\\boldsymbol{b_j}\\\vdots\\\boldsymbol{b_i}\\\vdots\\\boldsymbol{b_n}\end{bmatrix}=\boldsymbol{A}_{i\leftrightarrow j}$

1.2 某一行乘以一个非零数

设表示将单位阵的第行乘以一个非零数，即

命题：，等价于将\boldsymbol{A}的第行乘以。

$\begin{split} \boldsymbol{I}_{ki}\boldsymbol{A} &=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e_1}^T\\\vdots\\k\boldsymbol{e_i}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_n}^T\end{bmatrix}[\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_m}]\\ &=\left[k^{\mathbf{1}\{ r=i \}}\boldsymbol{e}_r^T\boldsymbol{a}_c\right]_{r,c}\\ &=\left[k^{\mathbf{1}\{ r=i \}}a_{rc}\right]_{r,c} \end{split}$

于是，结果的矩阵可以发现，若，则结果矩阵是，而出现，当且仅当，即第行，于是命题成立。

1.3 某一行乘以一个非零数加到另一行上

设表示将单位阵的第行乘以一个非零数加到第行，即

命题：，等价于的第行乘以一个非零数加到第行。

与上面的证明方法类似，但是结果的第行为

其中对，有
从而

即结果的第行是的第行乘以一个非零数加到第行，其余行与相同。

2. 初等列变换

初等列变换包含三种运算：

调换任意两列
某一列乘以一个非零数
某一列乘以一个非零数加到另一列上

我们先来证明下面三个命题：

的转置，就是将的第列乘以。这是显然的，因为是对称阵，故而它的转置仍然保持不变，而中，位于第行，也位于第列，从而命题成立。
的转置，就是将的第列和第列交换（假设）。因为于是显然转置操作没有改变各个列的相对位置，的第列和第列交换了。
的转置，就是将的第列乘以再加到第列上去。因为于是

综上，我们仍记表示的第列乘以非零数的结果，它等于；记表示的第列乘以非零数加到第列的结果，它同样等于；记表示的第列和第列互相交换的结果，它等于。

2.1 调换任意两列

命题：的结果，等价于将的第两列互换。

因为
$\begin{split} \boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{i\overset{c}{\leftrightarrow} j} &=\left(\boldsymbol{I}_{i\overset{c}{\leftrightarrow} j}^T\boldsymbol{A}^T\right)^T\\ &=\left(\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}\boldsymbol{A}^T\right)^T \end{split}$

因为对的转置的第行互换，这就等于把的第列互换，所以命题成立。

2.2 某一列乘以一个非零数

命题：的结果，等价于将的第列乘以。

因为

因为对的转置的第行乘以，这就等于给的第列乘以，所以命题成立。

2.3 某一列乘以一个非零数加到另一列上

命题：的结果，等价于将的第列乘以再加到第列上。

因为
$\begin{split} \boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_{ki\overset{c}{\rightarrow} j} &=\left(\boldsymbol{I}_{ki\overset{c}{\rightarrow} j}^T\boldsymbol{A}^T\right)^T\\ &=\left( \boldsymbol{I}_{ ki \rightarrow j}\boldsymbol{A}^T\right)^T \end{split}$

因为把的转置的第行乘以再加到第行，就等于把的转置的第列乘以再加到第列上。

3. 初等变换保秩

命题：对任意矩阵进行初等行/列变换，矩阵的秩不变。

设任意矩阵，对其初等行变换对应于左乘中的一个，同样对其初等列变换对应于右乘中的某一个，于是经过有限次初等变换得到矩阵，表示为其中 $\boldsymbol{E}_{r_i}\in\{\boldsymbol{I}_{ki},\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j},\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}\}, \boldsymbol{E}_{c_i}\in\{ \boldsymbol{I}_{ki},\boldsymbol{I}_{ki\overset{c}{\rightarrow} j},\boldsymbol{I}_{i\overset{c}{\leftrightarrow} j} \}$ 。

矩阵初等变换的变换矩阵