关于概率期望

\[概率期望\]

感谢\(gzy\)

首先几个定义：

随机试验：例如投硬币就是个随机试验他的结果是不确定的
样本空间：随机试验得到的结果的集合记为\(S\)
样本点：集合\(S\)中的元素\(e\in S\)
随机时间：记为\(A\)它是一个集合且是\(S\)的一个子集
随机变量：有多种可能的取值的变量一般设为\(X\)
独立事件：互不影响的事件
离散变量：只能取有限个的个数

记概率为\(P\)期望为\(E\)

集合的运算

\(\begin{cases}1.A \cup B \ \ \ \ ( 与B至少有一个发生\\2.A \cap B \iff A * B \ \ (A与B同时发生\\3. A-B\\4.A的逆就是A的补集\end{cases}\)

需要注意若\(A\cap B=\emptyset\)则\(A\)与\(B\)互斥
对于\(3.\)画个维恩图可能比较直接

一句废话：

频率\(=\frac{正面朝上的次数}{总次数}\) (以掷硬币为例
概率是样本点的一个属性
对于概率为\(p\)的事件期望\(\frac{1}{p}\)次后发生

概率的计算公式：

\(P(A)=\sum_{e\in A}P(e)\)
几个性质：
\(1.P(A)\geq 0\)
\(2.\sum_{e\in S}P(e)=1\)
还有两个不想写了

古典概型：

\(P(e)=\frac{1}{|S|}\) \(，\) \(P(A)=\frac{|A|}{|S|}\)
这不是绝对值这是大小别问我怎么知道的我就是知道

期望的计算公式：

\(E(x)=\sum P(x=i)*i\)

几个比较重要的性质:

\(1.\)对于独立事件：\(E(A *B)=E(A)*E(B)\)
\(2.\)对于独立事件：\(P(A*B)=P(A)*P(B)\)
\(3.\)期望的线性性：\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
\(4.\)对于离散变量：\(P(x=k)=P(x\leq k)-P(x\leq k-1)\)

EG:

\(1.\)有\(n\)个随机变量\(X(1...n)\)，每个随机变量都是从\(1...s\)中随机一个整数求\(Max(X(1...n))\)的期望
\(Solution:\)
设\(max\)表示序列最大值
\(E(max)=\sum _{i=1}^sP(max=i)*i\)
\(=\sum_{i=1}^s[P(max\leq i)-P(max\leq i-1)]*i\)
\(\sum _{i=1}^s(\frac{i}{s})^n-\frac{i-1}{s}^n\)

\(2.\)每次随机一个\(1...n\)的整数，问期望几次能凑齐所有数
\(Solution:\)设\(A_i\)表示已经凑完了\(i-1\)个数再凑第\(i\)个数的步数
\(E(\sum_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nE(A_i)=\sum_{i=1}^n\frac{n}{n-i+1}\)

\(3.\)有\(n\)堆石子，每堆石子有\(p[i]\)个石子，每次可选择\(1\)个石子删除其所在堆，问删除第一堆的期望
\(Solution:\)
设\(x_i=\)\(\begin{cases}0\\1\end{cases}\)
\(0\)表示\(i\)这堆石头在第一堆石头之前没有被选
\(1\)表示\(i\)这堆石头在第一堆石头之前已经被扔了

\(S=\sum_{i=1}^nX_i\)
\(E(s)=E(\sum_{i=2}^n)=\sum_{i=2}^nE(x_i)=\sum_{i=2}^nP(x_i)=\sum{i=2}^n\frac{a_i}{a_1+a_i}\)

没了
谢谢收看，祝身体健康！