分数解决问题（终极版）

尘埃落定，再不愿想！

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方程法——书写量大且繁琐，在典型题、死题型的套用上是注定会败给算术法的简单高效的，最简单的如乘除两步解决问题方程法就会遇到尴尬，还有一个原因是被外面的补课班逼的，他们都用算术法。

若用方程必须抢先，若能抢先，当然是方程这种大一统有利于学生掌握，详交分数解决问题类型题大全。

几点思考：

一、三种典型题唯算术法。

算术法的基本原理是（基本原理不清，是学生难以掌握算术法的重要原因，所以务必让学生也理解）：因为单位1✖️对应率=对应量，所以单位1已知用乘法，看着问题想分率，求什么量乘什么率；因为对应量➗对应率=单位1，所以单位1未知用除法，求单位1时看着数量想分率，已知数量是谁的量，就除以谁的率。

注：下次教学除法不要从乘法复习题引入了，直接分析单位1未知，然后提出大法：对应量➗对应率=单位1，照此操作即可。

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1.第一类第三类问题死套路不足为虑，第三类这样特征明显的题型如鸡比鸭多1/3，最初乘法就以法二——侧重率法的方式机械套用突破即可。

从一开始学乘法就要让生牢牢掌握基本原理，这是最大的法。否则学到除法时学生会很难理解：为什么无论求单位1鸭，率还是1➕1/3？（突破的手段是一上课就要开宗明义：如何求单位1？进一步明确对应量➗对应率=单位1。）。

  详见：分数除法解决问题例2

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后面也要用：

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具体教学中可用几何直观，填空回答的方式突破：

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第三类如鸡比鸭多1/3这样的题型学习完之后马上应学习求一个数比另一个数多（少）几分之几！

2019.12.9反思：

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把方法总结为差➗比后量的难度有些大，应分步解答，第一步先求甲比乙多多少或少多少，第二步再求是比后量乙的百分之几。

（1）这类题务必扣住本质，从本源出发才能势如破竹，相反只是死记硬背，忘记了也就完蛋了。另外学生经常总结的“大数➖小数的差➗比后量”也不好，大数小数的意义不明确，会带来隐患。

求甲比乙多百分之几就是求甲比乙多的部分是乙的百分之几，方法是先求甲比乙多的部分，再➗比后量乙；

求甲比乙少百分之几就是求甲比乙少的部分是乙的百分之几，方法是先求甲比乙少的部分，再➗比后量乙。

叙述结构：求……就是求……的部分是……的百分之几，方法是先求……的部分，再➗比后量……。

（2）差➗比后量的方法对学生而言难度太大，应扣住本质分步列式解决。

（3）基本练习后要通过变式加深理解：如上月20吨，这月比上月节约6吨，这月比上月节约百分之几，或去今年500棵，比去年多50棵，今比去多百分之几。

2.稍有难度的是第二类量率不对应的题型，实际上最复杂的解决问题也往往出现在这块儿，是除法量率不对应的变式。第二类问题是训练学生量率对应的绝佳题型和素材。

注：（1）用去一些问剩下的分率是多少可通过专项训练突破，如全班男占几分之几，问女占几分之几？再如第一次，第二次分别用去几分之几，问还剩几分之几？

（2）算术法要在率上着力，最大的法是基本原理：因为单位1✖️对应率=对应量，所以单位1已知用乘法，看着问题想分率，求什么量乘什么率；因为对应量➗对应率=单位1，所以单位1未知用除法，求单位1时看着数量想分率，已知数量是谁的量，就除以谁的率。

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从最初就要把求谁的量就乘谁的率这个理念植入学生心里：如已知总量40吨，苹果2/5，梨3/5，求苹果怎么求？求梨怎么求？求梨和苹果一共多少怎么求？求梨比苹果多多少怎么求？

  量率之争中言：若走方程之路即量之路则对比教学好，若走率之路则对比的教学方法不妥，一是因为是两种截然不同的思路，二是不利于知总量求剩余型题的学习，还是先学乘后学除好。至于对比，只能放到学习除法时即在练习或作业中乘除两种题型混杂出现来解决，即边学习除法边对比。

从最初的乘法就要开始训练（可通过第一问设置先求分率来引导），形成一种规范的分析语言（这很重要，语言即思维）：

乘法：单位1是……，已知用乘法，问题是求……的数量，所以要乘……的分率，……的分率是……，所以算式是……

除法：单位1是……，未知用除法，已知数量是……的数量，所以要除以……的分率，……的分率是……，所以算式是……

以下是微信语音作业（ 作业：发微信语音，将下面的内容抄在纸上说解题过程，然后将语音发给所在组的组长。）：

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（3）这类问题没有第一问时或复习时提问的核心问题应是：为什么除以1一3/8（因为条件中的已知数量是…的数量）？为什么乘1一1/4一2/5（因为问题是求…的数量）？

复杂解决问题往往是除法量率不对应的变式

最初学习时线段图是有力的突破手段：

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到了后面还可以用扇形统计图作为直观手段再次突破深化百分数解决问题：

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学生作业：

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二、和（差）率问题，带尾巴问题必须方程。

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从长远来看，当然是方程法对学生长远发展更有利，可也要想到学困生的学习效率，首先必须保证他们当下能拿到分，然后才能考虑优生未来的发展。

怎么办呢？如何在这二者之间权衡？

那就是遇到其它变式问题时，在介绍完算术法后，要抓住无法生搬硬套的机会介绍渗透方程法，来作一些补救补偿。特别是期末复习刷题时的培优是大好机会。

主要顾眼下，然后想将来。

2019.12.21日反思：

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通过以下对比就会发现方程的优势，它确实突出了各种类型题数量关系（正是学生学习解决问题的软肋），下次值得通过抢和对比的方式尝试教学。

若行方程则走量之等关

方程教学思路：

1已知求出相关量来，1未知把它设（射）出来。

详解：如果1已知用乘法能求出相关量来，如果1未知就把它设为X，把相关量用含X的式子表示出来。

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注：为抢时间，双分数型和带尾巴型宜放在最后学习。如何进一步争取时间？是嘱咐家长不要提前补还是让孩子来我这里补？

我想最好的办法是在放假前利用几节课将最基本前三种题型进行学习，只列式或列方程不计算，只为植入单位1已知列算式，未知列方程的理念。同时在放假前提前短信提醒家长不要提前补下学期的新内容，补课班的算术方法会与课本还有中学的方程思路相违背，并且在期末家长会上进行讲解说明。

辅导孩子分数解决问题时请各位家长注意：过去的老教材是单位1已知用乘法，未知用除法，这种思路不利于中学的学习（中学主要以方程思维为主），所以现在这种思路基本已淘汰。

有利于孩子今后中学学习的方法是已知列算式，未知列方程。从历年中学选拔性试题来看也是侧重方程思维，所以请各位家长今后辅导孩子时注意这一点，要有意识地培养孩子的方程思维，这有助于孩子参加选拔性考试时解决那些复杂而陌生的问题。

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方程版教学实践：

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