10.动态规划（3）——0-1背包问题

　　在上一篇《9.动态规划（2）——子集和问题》中，谈到了什么是子集和问题，以及实现。背包问题实际也是子集和问题的一种，不过背包问题不是“判断问题”而是一个“最优问题”。而背包问题实际上又分为“0-1背包”，“完全背包”，本文对“0-1背包”进行讲解。

　　问题：有n个物品，每个物品的重量为weigh[i]，每个物品所对应的价值为price[i]，现在有一个背包，背包所能承受的重量为W，问背包能装下的物品总价值最大是多少？

　　定义s[i, j]表示前i个物品的总价值，j为背包的承重量。当j = W或者最接近于W且小于W时，此时就是问题的解。

　　对于“动态规划”的关键就是要找到其递推公式，递推公式往往会将一个问题以某个值为边界拆分为两部分。背包问题的求解是子集和问题的最优化求解，在《9.动态规划（2）——子集和问题》中分析过递推公式的推导工程，在这里重新分析推导。

　　分析：s[i, j]表示前i个物品，如果前i - 1个物品价值已经达到背包承重量j的极限，那么第i个物品就不能放进去(j - wi < 0)，此时就可表示s[i, j] = s[i - 1, j]。但如果第i - 1个物品未达到背包承重量j的极限(j - wi >= 0)，此时我们计算前i - 1个物品的价值就是s[i - 1, j - wi]，此时加上第i个物品的价值就可以表示为s[i - 1, j - wi] + pi。

　　综上得到递推公式：

　　举例：物品的重量集合w = (2, 4, 1, 5, 3)，物品的价格集合 p = (4, 5, 19, 3, 2)，背包重量6。通过上面的递推公式，将这个背包问题利用矩阵来表示，第6列的最大值即为背包重量为6时的最大价值。

　　Java

 1 package com.algorithm.dynamicprogramming;
 2 
 3 import java.util.Arrays;
 4 
 5 /**
 6  * 0-1背包问题
 7  *           | s[i - 1, j]                      (j - wi < 0)
 8  * s[i, j] = |     | s[i - 1, j]
 9  *           | Max |                            (j - wi >= 0)
10  *           |     | s[i - 1, j -wi] + pi
11  * Created by yulinfeng on 7/3/17.
12  */
13 public class KnapsackProblem {
14     public static void main(String[] args) {
15         int[] weight = {2, 4, 1, 5, 2};
16         int[] price = {4, 5, 19, 3, 2};
17         int knapsackWeight = 6;
18         int value = knapsackProblem(weight, price, knapsackWeight);
19         System.out.println(value);
20     }
21 
22     /**
23      * 动态规划求解0-1背包问题
24      * @param weight 物品重量
25      * @param price 物品价值
26      * @param knapsackWeight 背包承重量
27      * @return
28      */
29     private static int knapsackProblem(int[] weight, int[] price, int knapsackWeight) {
30         int row = weight.length + 1;
31         int col = knapsackWeight + 1;
32         int[][] solutionMatrix = new int[row][col];
33         int[] values = new int[row];
34         values[0] = 0;
35         for (int i = 0; i < row; i++) {
36             solutionMatrix[i][0] = 0;
37         }
38         for (int j = 0; j < col; j++) {
39             solutionMatrix[0][j] = 0;
40         }
41 
42         for (int i = 1; i < row; i++) {
43             for (int j = 1; j < col; j++) {
44                 solutionMatrix[i][j] = solutionMatrix[i - 1][j];
45                 if (j - weight[i - 1] >= 0 && solutionMatrix[i - 1][j - weight[i - 1]] + price[i - 1] > solutionMatrix[i][j]) {
46                     solutionMatrix[i][j] = solutionMatrix[i - 1][j - weight[i - 1]] + price[i - 1];
47                 }
48             }
49             values[i] = solutionMatrix[i][col - 1];
50         }
51         Arrays.sort(values);
52         return values[values.length - 1];
53     }
54 }

　　Python3

 1 def knapsack_problem(weight, price, knapsackWeight):
 2     '''
 3     0-1背包问题
 4               | s[i - 1, j]                      (j - wi < 0)
 5     s[i, j] = |     | s[i - 1, j]
 6               | Max |                            (j - wi >= 0)
 7               |     | s[i - 1, j -wi] + pi
 8 
 9     Created by yulinfeng on 7/3/17.
10     '''
11     row = len(weight) + 1
12     col = len(price) + 1
13     solutionMatrix = [[0 for c in range(col)] for r in range(row)]
14     values = [0] * row
15     for i in range(row):
16         solutionMatrix[0][i] = 0
17     for j in range(col):
18         solutionMatrix[j][0] = 0
19     for m in range(1, row):
20         for n in range(1, col):
21             solutionMatrix[m][n] = solutionMatrix[m - 1][n]
22             if n - weight[m - 1] >= 0 and solutionMatrix[m - 1][n - weight[m - 1]] + price[m - 1] > solutionMatrix[m][n]:
23                 solutionMatrix[m][n] = solutionMatrix[m - 1][n - weight[m - 1]] + price[m - 1]
24         values[m] = solutionMatrix[m][col - 1]
25     
26     values.sort()
27     return values[len(values) - 1]
28 
29 weight = (2, 4, 1, 5, 2)
30 price = (4, 5, 19, 3, 2)
31 knapsackWeight = 6
32 value = knapsack_problem(weight, price, knapsackWeight)
33 print(value)