2017高考数学压轴题：放缩法解不等式的11条总结

沪江网校刘爱洁老师：人称爱姐，首席高中数学资深教师，北京科技大学数学系研究生。所带学生单科成绩可进步20-80分，提倡快乐学习，爱上数学！

昨天爱老师在高考数学文章 中，承诺过大家今天要具体讲解一下不等式证明技巧——放缩法。我来履行诺言啦！

那为什么要单独挑出“放缩法”来讲呢？那是因为压轴题只要考到不等式证明，一般会用到这个方法，它属于压轴必备技巧哟！快点码起来~

放缩法其实是在证明不等式成立时，通过放大或缩小，寻找一个中间量而已。但是说起来简单，真正求解的话还是比较难的，因为中间变量不是直接可以找到的，有时候甚至给了答案我们都看不明白。所以放缩的一些常见技巧大家还是要熟悉。

一. 分子分母的形式

一般是裂项放缩，这个方法在数列的裂项相消里是经常用到的。

例如：求下图的值

一看就是有分子分母的形式还要累加，对于这种形式我们最熟悉的莫过于数列中的裂项相消的方法。但是对于这个题目并不是可以直接裂开的，所以我们要先去通过放缩法对其化简成可裂项相消的形式，再去累加求解。

所以本题解法为：

其实这只是一个简单的放缩技巧，所以接下来重点来了，一些常见形式的放缩形式的总结如下（部分总结）：

二. 分式放缩

对于姐妹不等式我们并不陌生，相反初中我们就已经熟悉这个形式了，只是当时我们是以假分数真分数的形式去记忆去理解，那到了高中我们还是用这个性质

记忆口诀”小者小,大者大”。

例如：证明

对于这个形式看上去没有好的方法去证明，所以想到放缩法去求解，实质就是根据咱们上边的不等式的基本性质。

三. 分类放缩

一个不等式证明我们求解可能将其分为几部分，分别放缩求解，但是要注意我们放缩的方向是一致的，也就是要不都是放大，要不都是放小，切忌符号混乱。

例如：

对于这个不等式，我们有很多项，所以放缩的话可以分别放缩

四. 迭代放缩

这个方法更适合数列或者函数的形式去放缩，有迭代关系。

例如：

对于这个题目，是数列的前n项和的形式，虽然不能转化为等差或者等比数列，但是我们要往这个形式去转化，去求解，去化简，然后又想到三角函数的值他是有范围的，肯定在[-1,1],所以从这可以开始放缩。

五. 递推放缩

这个方法也是更适合数列或函数的形式去放缩。

例如：

虽然仅仅只是总结了几个放缩的形式，但其实每个例题都是干货满满，并且需要大家消化和练习。

高考数学压轴题所需要的不等式技巧蛮多的，所以放缩法分为两篇给大家说明，敬请期待。

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