柏林噪声原理介绍

Perlin噪声（Perlin noise）指由Ken Perlin发明的自然噪声生成算法。

什么是噪声

噪声在信号处理中一般指原信号中不存在的无规则的额外信号。在处理过程中一般是我们不需要的，需要被处理掉的。噪声和信号本身无关，其频率和强弱变化无规律。

噪声有什么用处

就如上面提到的那样，噪声是干扰原信号的存在。在信号处理中，我们一般都希望通过各种方法将其从原信号中剥离出来并除掉。既然如此，为什么我们还需要创造出各式各样的噪声生成算法。原因很简单，就是我们自然界中存在各种各样的噪声。而当我们的程序出于某些目的想要模拟这些随机过程时（例如云朵，火焰等），我们就需要噪声了。

噪声可视化

我们用随机数算法产生的二维噪声图，如下图所示：

float random(in vec2 p){
    return fract(sin(dot(p.xy ,vec2(13.0,78.23))) * 51043.0123);
}

噪声图像

我们可以看到用随机函数生成的噪声纹理太过嘈杂，不像我们自然界中经常见到一些非常漂亮的噪声（像数目的纹理，石头的纹理，流水等）。因此，用这种噪声来模拟上述噪声难度太大了。这也是为什么图形学的先辈们想出各种各样其他噪声算法的原因。柏林噪声就是其中之一。

柏林噪声

柏林噪声属于基于晶格(Lattice based)的生成算法。在介绍柏林噪声算法之前，我们简单介绍下什么是晶格。以二维图像为例，晶格就是等分的网格，以一定单位将我们的图像划分成x*y（x行和y列）的网格。如下图，我们将图像划分成了3 * 3的网格。

晶格

当晶格数目越多时，生成的噪声将越“密集”。

下面来介绍柏林噪声的算法：
Perlin noise噪声生成算法总共有三个步骤：

1. 首先，定义一个晶格结构。晶格结构中的每个晶格顶点都有一个梯度向量。在二维的情况下，晶格结构是个平面的网格。在三维情况下，晶格结构是个立方体网络，以此类推。
2. 其次，给定一个点（在二维情况下就是二维坐标。在三维情况下就是个三维坐标。）我们需要计算该点到该点所在的晶格顶点的距离向量，再分别乘以对应顶点的梯度向量，得到2ⁿ个点乘结果（n为空间下，每个晶格有2ⁿ个顶点）。
3. 根据缓和曲线（ease curve）使用距离采样权重值用于最后插值。曲线方程为：s(t) = 3t² - 2t³，后改良为s(t) = 6t⁵ - 15t⁴ + 10t³。

在这里对第三点插值权重值为什么不直接应用距离来算，即选择函数s(t) = t，来进行线性插值。因为我们的晶格长度都是单位长度，所以每个点到该点所处晶格顶点的距离是[0, 1]之间的数。而 s(t) = t 函数在 0 和 1 两点上的一阶导数不为 0（为1）。这样导致明显的不连续性。而上述的s(t) = 3t² - 2t³和s(t) = 6t⁵ - 15t⁴ + 10t³的一阶导数在0和1两点的倒数都为0。且s(t) = 6t⁵ - 15t⁴ + 10t³的二阶导数也满足在0和1两点为0。说明s(t) = 6t⁵ - 15t⁴ + 10t³函数不仅在0和1的斜率为零，且斜率本身的变化率也为0。所以在每个晶格顶点附近区域的变化过渡会更加的平滑。

晶格顶点的梯度向量和给顶点到各个顶点的距离向量

上图是图片划分的晶格图。左边是晶格图以及相应每个晶格顶点上面梯度向量示意图。右边的绿色箭头是给定某个输入点（黄色）到该点所处晶格顶点的距离向量。
现在剩下的就是每个晶格顶点的梯度向量如何得到？
Perlin在他的实现中采用了以下方法（用二维为例）：
首先按之前的方法生成在单位正方形内随机梯度向量，然后剔除那些不在单位圆内的向量，直到找到了需要数目的随机梯度向量。Perlin把这些预计算得到的向量存储在一个查找表G[n]中，n是纹理大小，例如256 x 256大小的纹理对应n为256。虽然我们实际上需要n x n个梯度向量，这样会造成有些顶点的梯度是重复的。Perlin认为，重复是可以允许的，只要它们的间距够大就不会被察觉。因此，Perlin还预计算了一个随机排列数组P[n]，P[n]里面存储的是打乱后的0~n-1的排列值。这样一来，当我们想要得到(i, j)处晶格的梯度向量时，可以使用：
G = G[(i + P[j])_{mod n}]。

Reference

【图形学】谈谈噪声