大话数据结构:二叉树

一、基本概念

注意: 一个树只有一个根节点
(1)节点的度(degree)
一个节点拥有子树数

(2)节点分类
根节点(root)
内部节点
叶节点(leaf)


大话数据结构:二叉树_第1张图片
image.png

(3)节点之间的关系
双亲(parent)
兄弟(sibling):左兄弟、右兄弟
孩子(child): 左孩子、右孩子

(4)路径(path)
从节点n1到nk的路径定义为节点n1,n2,..., nk的一个序列,使得1≤ i<k,节点ni是n_(i+1)的父亲。
这个路径的长(length)为该路径上边的条数。

(5) 树与节点的深度(depth)和高度(height)
概念的定义参考:《Data Structure and Algorithm Analysis in C》

节点的深度(depth)

节点ni的深度为从根到ni的唯一路径的长。

节点的高度(height)

节点ni的高度为从ni到一片树叶的最长路径的长。

树的深度: 树最深的叶子的深度
树的高度: 树的根节点的高度

下图:
节点D的深度为2,高度为1
节点B的深度为1,高度为2
该树的深度为3,高度也为3

该图标注的树的深度为4,源自《大话数据结构》,不建议使用这个定义。


大话数据结构:二叉树_第2张图片
image.png

引申:
森林(Forest)是由m(m≥0)颗互不相交的树组成。对于非空树的每个非叶子节点而言,其子树的集合即为森林。

二、 二叉树

大话数据结构:二叉树_第3张图片
image.png

二叉树的特点
(1) 每个节点最多有2个子树
(2) 子树之间有左右次序,不可交换
(3) 如果一个节点只有一颗子树,那么要区分左子树还是右子树

二叉树的5种基本形态
(1)空二叉树(没有节点)
(2)有一个根节点的二叉树
(3)根节点只有左子树
(4)根节点只有右子树
(5)根节点既有左子树,又有右子树

应用:求只有3个节点的二叉树有多少种形态?

(1) 首先按层分类,有2类:深度为2的,深度为3的
(2)3个节点,深度为2的二叉树只有一种情况;深度为3的情况分4种: 中间节点可以左孩子或者右孩子,最后一个节点也是可以是左孩子或者右孩子


大话数据结构:二叉树_第4张图片
image.png

3. 完全二叉树

一颗具有n个节点的二叉树按层序编号,若其所有节点的编号与对应的满二叉树节点编号相同,则这颗二叉树是完全二叉树。
正例

大话数据结构:二叉树_第5张图片
image.png

反例

大话数据结构:二叉树_第6张图片
image.png

完全二叉树的特点
(1) 所有叶子节点一定集中在最下面两层(一般的完全二叉树)或最下面一层(特殊的完全二叉树——满二叉树)
(2)最下层的叶子一定集中在左部连续位置
(3)倒数第二层若有叶子节点,一定集中在右部连续位置
(4)如果节点度为1,则该节点只有左孩子,没有右孩子
(5)同样节点数的二叉树,完全二叉树的深度最小

二叉树的性质
(1) 第i层至多有2^(i-1)个节点(i≥1)
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
20,21, ... , 2^{i-1}, ...
)
(2) 层数为k的二叉树,至多有2^k - 1个节点
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
2^{k} -1 = 20+21+ ... + 2^{k-1}
)
(3)对任何一颗二叉树T,如其终端节点数为n0,度为2的节点数为n2,则n0 = n2 + 1

一颗树,除了度为0的终端节点(如FGHIJ)和度为2的节点(如ABCD)之外,就只有度为1的节点了,如下图的E节点。

不妨设度为1的节点个数为n1,则树T总的节点个数
n = n0 + n1 + n2

由于除了根节点外每个节点都有分支线指向它,所以分支线总数
l = n - 1

换个角度,每个节点的发出分支个数要么为0(度为0的节点),要么为1(度为1的节点),要么为2(度为2的节点),所以分支线总数
l = n1 + 2*n2

将第一个方程带入第二、三个方程,消掉n1,-1移到等式右边变为1,得
n0 = n2 + 1
即,叶子节点个数是度为2的节点数加1

大话数据结构:二叉树_第7张图片
image.png

(4) 具有n个节点的完全二叉树深度为
这里的深度采用《Data Structures and Algorithm in C》
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
depth = \lfloor\log_2(n)\rfloor \
layer = \lfloor\log_2(n)\rfloor + 1
)

度为k的完全二叉树的节点数n一定小于等于同样深度的满二叉树的节点数,一定大于深度比其小于1的满二叉树的节点数,即
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
2^{k-1} - 1 < n \leqslant 2^k - 1
)
为了两边取对数,利用n是整数的性质,可以将上述不等式化为
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
2^{k-1} \leqslant n < 2^k
)

对不等式两边取对数,
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
k - 1 \leqslant \log_2(n) < k
)
所以,
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
k = \lfloor\log_2(n)\rfloor + 1
)
(5)一个具有n个节点完全二叉树的节点从1按层序编号,对任一节点i(1 ≤ i ≤ n)有

若i > 1 ,则有双亲节点,编号为

![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
\lfloor\frac{n}{2}\rfloor
)

若2i ≤ n,则有左孩子节点,编号为

![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
2i
)

若2i+ 1 ≤ n,则有右孩子节点,编号为

![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?
2i+1
)

参考资料:
《大话数据结构》
《Data Structures and Algorithm in C》

你可能感兴趣的:(大话数据结构:二叉树)