URAL 1996 Cipher Message 3 (FFT + KMP)

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题意 ：给出两个串A ， B，每个串是若干个byte，A串的每个byte的最后一个bit是可以修改的。问最少修改多少，使得B串是A的一个子串。

2013年NEERC的题。。。。。。。感觉[buaa]sd0061教我做这题。

NEERC是毛子题，但是这套题感觉除了题面很难读之外，并不是很难。。。

目前为止，J题貌似全队都没看题，E题还在WA中，其它题都没啥问题。

做法：前7位都是不能修改的，所以要完全匹配，那么先按前7位KMP一下，记录匹配的位置。之后就是统计以这些位置开始，需要修改多少位，然后 取最小值。

所以提取出最后一个bit，成了两个01串，统计hamming distance。

记得若干年前就和队友讨论过这个问题，不过当时不是01串，觉得不可在n * m之内解决，然后 就放弃了。结果这个01串是可以 在nlgn解决 的。吓傻。。

两个01串a , b。将b反转之后，求一次卷积，便可以得到a串中以i为起始位置，与b进行匹配有多少个位置同为1。

那么接下来把a,b的01反转一下，再求一次卷积，就可以得到原串中为多少个位置同为0。就得到了hamming距离。

卷积求的是c[i + j] = a[i] * b[j]。由于我们将b进行了反转，所以a串中以i为起始位置的。

c[i + m - 1] = a[i + 0] * b[m - 0 - 1] + a[i + 1] * b[m - 1 - 1] + …… a[i + j] * b[m - j - 1] + …… a[i + m - 1] * b[m - (m - 1) - 1]。

如果a , b中同为1,乘积为1,否则为0,这样就统计出了有多少位同为1了。吓傻。。。太神了。

预处理出这个之后，再枚举之前KMP所得到的匹配位置 就可以了。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int , int> pii;
const int N = 1000005;
//FFT copy from kuangbin      
const double pi = acos (-1.0);      
// Complex  z = a + b * i        
struct Complex {      
    double a, b;      
    Complex(double _a=0.0,double _b=0.0):a(_a),b(_b){}      
    Complex operator + (const Complex &c) const {      
        return Complex(a + c.a , b + c.b);      
    }      
    Complex operator - (const Complex &c) const {      
        return Complex(a - c.a , b - c.b);      
    }      
    Complex operator * (const Complex &c) const {      
        return Complex(a * c.a - b * c.b , a * c.b + b * c.a);      
    }      
};      
//len = 2 ^ k      
inline void change (Complex y[] , int len) {      
    for (int i = 1 , j = len / 2 ; i < len -1 ; i ++) {      
        if (i < j) swap(y[i] , y[j]);      
        int k = len / 2;      
        while (j >= k) {      
            j -= k;      
            k /= 2;      
        }      
        if(j < k) j += k;      
    }       
}      
// FFT       
// len = 2 ^ k      
// on = 1  DFT    on = -1 IDFT      
inline void FFT (Complex y[], int len , int on) {      
    change (y , len);      
    for (int h = 2 ; h <= len ; h <<= 1) {      
        Complex wn(cos (-on * 2 * pi / h), sin (-on * 2 * pi / h));      
        for (int j = 0 ; j < len ; j += h) {      
            Complex w(1 , 0);      
            for (int k = j ; k < j + h / 2 ; k ++) {      
                Complex u = y[k];      
                Complex t = w * y [k + h / 2];      
                y[k] = u + t;      
                y[k + h / 2] = u - t;      
                w = w * wn;      
            }      
        }      
    }      
    if (on == -1) {      
        for (int i = 0 ; i < len ; i ++) {      
            y[i].a /= len;      
        }      
    }      
}    
int n , m , a[N] , b[N];
int c[N] , d[N] , next[N] , p[N];
char str[10];
void get_next (int *a , int l) {
    int i = 0 , j = -1;
    next[i] = j;
    while (i < l) {
        if (j == -1 || a[i] == a[j]) {
            i ++; j ++;
            next[i] = j;
        }
        else j = next[j];
    }
}
int pos[N] , cnt;
void match (int *a , int la , int *b , int lb) {
    int i = 0 , j = 0;
    while (i < la) {
        if (j == -1 || a[i] == b[j]) {
            i ++;j ++;
            if (j == lb) {
                pos[cnt ++] = i - lb;
                j = next[j];
            }
        }
        else j = next[j];
    }
}
Complex x1[N] , x2[N];
void gao (int *a , int *b) {
    int len = max (n , m);
    int l = 1;
    while (l < len * 2) l <<= 1;
    for (int i = 0 ; i < n ; i ++)
        x1[i] = Complex (a[i] , 0);
    for (int i = n ; i < l ; i ++)
        x1[i] = Complex (0 , 0);
    FFT (x1 , l , 1);
    for (int i = 0 ; i < m ; i ++)
        x2[i] = Complex (b[i] , 0);
    for (int i = m ; i < l ; i ++)
        x2[i] = Complex (0 , 0);
    FFT (x2 , l , 1);
    for (int i = 0 ; i < l ; i ++)
        x1[i] = x1[i] * x2[i];
    FFT (x1 , l , -1);
    for (int i = 0 ; i <= n - m ; i ++) {
        p[i] += (int)(x1[i + m - 1].a + 0.5);
    }
}
int main () { 
    while (scanf ("%d %d" , &n , &m) != EOF) {
        for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
            scanf ("%s" , str);
            a[i] = 0;
            for (int j = 0 ; j < 7 ; j ++)
                a[i] = a[i] * 2 + str[j] - '0';
            c[i] = str[7] - '0';
        }
        for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {
            scanf ("%s" , str);
            b[i] = 0;
            for (int j = 0 ; j < 7 ; j ++)
                b[i] = b[i] * 2 + str[j] - '0';
            d[m - i - 1] = str[7] - '0';
        }
        get_next (b , m);
        cnt = 0;
        match (a , n , b , m);
        if (cnt == 0) puts ("No");
        else {
            memset (p , 0 , sizeof(p));
            puts ("Yes");
            gao (c , d);
            for (int i = 0 ; i < n ; i ++)
                c[i] = c[i] ^ 1;
            for (int i = 0 ; i < m ; i ++)
                d[i] = d[i] ^ 1;
            gao (c , d);
            int ans = m + 1 , idx = -1;
            for (int i = 0 ; i < cnt ; i ++) {
                if (m - p[pos[i]] < ans)
                    ans = m - p[pos[i]] , idx = pos[i];
            }
            printf ("%d %d\n" , ans , idx + 1);
        }
    }
    return 0;
}