华山论剑的活动预算问题（爬山算法）

1. 组团旅游问题

有一天，东邪西毒南帝北丐中神通决定搞一次华山论剑，于是这五绝需要从四面八方坐飞机到西安咸阳机场，然后一起租车到华山比武：

	出发	目的
黄药师	青岛	西安
欧阳锋	乌鲁木齐	西安
段皇爷	昆明	西安
洪七公	北京	西安
王重阳	西安	西安

王重阳作为东道主，直接上华山布置场地。同时为了节约活动成本，他还需要安排各位参赛者的行程。由于四位大神只会武功不会开车，他们必须各自飞到西安集合，然后租车到华山，比武完毕一起回到西安，还车，各自飞走，也就是说其他在西安期间要大家一起行动。

这样，如何安排各自的航班就成了问题，有如下因素需要考虑：

• 机票的价格，本次活动预算有限，理应选择打折机票
• 到达等待时间：大家一定要等到最后一个人到了西安，才能一起租车出发，早到的人只能等待
• 返回等待时间：在回程时，大家要按照最早飞走的人的时间到达西安机场，飞机晚的人也只能等在机场
• 飞机飞行时间：大家都很忙，飞机上无法用手机处理公务
• 租车费用：如果租车时间超过24小时，就要多付一天的费用，500元

王重阳通过查询到如下从西安到各地的往返航班（虚构）：

虚构的航班时刻和价格

下面，他必须做出一个方案，使得活动的成本最小

2. 如何做出这个方案

2.1 将各个影响因素量化

• 机票的价格：按照实际机票价格计算（元）
• 到达等待时间：每等1分钟算1块钱
• 返回等待时间：每等1分钟算1块钱
• 飞机飞行时间：每飞1分钟算0.5块
• 租车费用：500元/天

2.2 随机选择一个方案

只要确定每个人的航班选择，就可以综合计算上面5个因素造成的总成本了。这里首先要做一个随机选择，每个人在自己的往返航班中各随机一个航班，如下：
黄药师（1，1）：乘坐离开西安的第一个航班，也乘坐到西安的第一个航班
欧阳锋（2，1）：同理
段皇爷（3，1）：同理
洪七公（2，2）：同理
为了后面表达方便（1，1，2，1，3，1，2，2）

2.3 计算这个随机方案的成本

根据2.1中的各个因素计算这个随机方案的成本。随机方案对应的航班情况如下：

随机方案，白色为来西安，黄色为离开西安

• 机票的价格：1423元
• 到达等待时间：最晚到达是北丐13：29，其他人每等1分钟算1块钱，为86+117+60=263元
• 返回等待时间：每等1分钟算1块钱，最早出发是东邪6：19，因此为91+186+124=401元
• 飞机飞行时间：每飞1分钟算0.5块，选择的八个航班总飞行时间1183分钟，成本为591.5元
• 租车费用：500元/天，北丐最晚到到后租车，然后去论剑，论玩马上开车赶第二天东邪6：19的航班，因此租车时间在24小时以内，成本500元

最终，这个方案的总成本为 1423+263+401+591.5+500 = 3178.5元

2.4 检查周围的所有可能其他解

改变8个航班中的任意一个，其他都不变。比如改变黄药师的第一个航班，从1可以变为2，就得到一个新的解（2，1，2，1，3，1，2，2）。但是不能把1变成3，因为我们要找的是“周围”的解，换句话说，只能是+1或者-1；1也不能变成0，因为并没有第0个航班。基于这个原则，我们可以得到个周围解，进而利用同样的成本计算规则计算算这些新解的成本。
（不实际计算了，只解释思路，下面的计算结果是虚构的）

1. （2，1，2，1，3，1，2，2）=3431
2. （1，2，2，1，3，1，2，2）=3317
3. （1，1，1，1，3，1，2，2）=3493
4. （1，1，3，1，3，1，2，2）=3025*
5. （1，1，2，2，3，1，2，2）=3319
6. （1，1，2，1，2，1，2，2）=3335
7. （1，1，2，1，3，2，2，2）=3235
8. （1，1，2，1，3，1，1，2）=3284
9. （1，1，2，1，3，1，3，2）=3443
10. （1，1，2，1，3，1，2，1）=3163
11. （1，1，2，1，3，1，2，3）=3357

可以发现第4个周围解（1，1，3，1，3，1，2，2）的成本低于最开始随机方案的成本，那么这个方案就变成的当前的最佳方案

2.5 重复2.4直到找不到更低成本的周围解

第4个周围解（1，1，3，1，3，1，2，2）是目前最佳方案，然后继续验证它周围的解，按照此方法，直到找不到更低成本的周围解，那么就得到了最佳的方案（下面的成本计算依然为杜撰，并未实际计算）

1. (2,1,3,1,3,1,2,2) = 3226
2. (1,2,3,1,3,1,2,2) = 3113
3. (1,1,2,1,3,1,2,2) = 3313
4. (1,1,3,2,3,1,2,2) = 3498
5. (1,1,3,1,2,1,2,2) = 3050
6. (1,1,3,1,3,2,2,2) =3102
7. (1,1,3,1,3,1,1,2) =3198
8. (1,1,3,1,3,1,3,2) =3444
9. (1,1,3,1,3,1,2,1) = 3224
10. (1,1,3,1,3,1,2,3) =3065

这时发现没有更低成本的方案了，那么（1，1，3，1，3，1，2，2）就是本次华山论剑的最佳成本方案。

以上这个方法叫做爬山算法

3. 爬山算法概述

爬山算法就是优化算法的一种，它的思想是这样的：对于复杂的问题，先给出一个随机的解S1，然后在这个解S1的“周围”寻找更好的解S2（周围的含义，是指改变影响最终方案的其中一个因素的取值），如果发现有最好的解S2，那么继续寻找周围有没有更好的解Sx，直到周围没有更好的解了，那么这个Sx就是这个问题的一个局部最优解。

这个算法的思想有点像下山的过程：为了能尽快的下山，我们在山上的一个点，要环顾四周，找到坡度最大的一个方向走一步，然后再次环顾四周，再找一个坡度最大的方向走一步，直到发现四周没有坡度了，那么就到了山脚下了。

很明显，爬山算法是局部最优解，而不是全局最优解，如下图所示：

爬山算法一般只能得到局部最优解

解决这一问题的方法是“重复随机爬山法”，即利用多个不同的初始随机解为起点运行若干次，希望能有一次得到全局最优解。