大数乘法—多项式与快速傅里叶变换

本章涉及知识点：

1、多项式乘法的时间复杂度

2、多项式的表示：系数

3、多项式的表示：点值

4、复数的表示

5、单位复数根

6、单位复数根的性质—消去引理

7、单位复数根的性质—折半引理

8、离散傅里叶变换：DFT和IDFT

9、快速傅里叶变换：FFT

10、FFT求解多项式乘法的步骤

11、python编程实战FFT大数乘法

12、结果分析

一、多项式乘法的时间复杂度

数学中，我们可以将任意一个n位的数字写为一个n-1次多项式，如456可以写为

数字转为多项式

即可抽象定义出以x为变量的多项式函数A(x)

多项式函数

其中aj表示：长度为N-1位数字的第j为数字

例如要计算456 * 123 = ？，则我们用多项式A(x)和B(x)来分别表示其各自的数字，C(x)表示两个多项式的乘积

两个数字的多项式

由乘法的运算规则，两个数的每一位数字都要与另一个数的每一位相乘，最后相加同一位上所有的数字，得到乘积中该位的数字，即

多项式乘法

将x=10为基带入结果，即可以得到456 * 123 = 4 * 10**4 + 13 * 10**3 + 28 * 10**2 + 27 * 10 + 18 = 56088

我们可以归纳出乘积C(x)的每一位数字的计算关系为

乘积数位的计算

其中cj表示：乘积数中的第j位的数字

则乘积多项式C(x)可以写为

乘积多项式

至此我们可以看到，由于受限于乘法运算自身的规则，计算两个多项式乘积（将数字转换为多项式）的时间复杂度为：，当n很大的时候复杂度将非常高

那么需要研究的问题就是：有没有方法可以高效的提高多项式乘法复杂度呢？

二、多项式的表示：系数

为了降低多项式乘法的复杂度，我们首先需要了解几个数学知识

从多项式函数的定义，我们将所有系数视为系数向量，而由全部系数组成的向量a叫做该多项式的系数表达

系数表达

PS：乘积多项式C(x)的系数向量cj，也称输入向量a和b的卷积，记为

卷积运算

从之前的分析可知，要计算出乘积C(x)的每一个系数向量cj，需要的时间复杂度为

三、多项式的表示：点值

我们任意选取n个不同的自变量x带入多项式函数A(x)进行求值运算，将得到n个不同数值的y，即

求值运算

则多项式的点值表达就是由这n个数值点组成的集合

点值表达

因为可以选取任意n个不同点所构成的集合，所有一个多项式可以有很多不同的点值表达

我们把任意n个点构成的集合叫做点值表达的基

从点值表达的基入手，选取适当的xk来优化多项式乘法效率，为此，我们选取单位复数根作为多项式的基

四、复数的表示

复数的定义：设a，b为实数，则形如的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部

PS：当a=0时，复数为纯虚数；当b=0时，复数可视为实数

将复数的实部与虚部的平方和的正平方根值称为该复数的模，即

复数的模

五、单位复数根

任意一个复数w，其n次幂的结果为1，就称复数w是n次单位复数根，即

n次单位复数根

可以看到，n次单位复数根有n个，其几何意义为：n个单位复数根均匀的分布在以复平面原点为圆心的单位圆上

n次单位复数根的几何意义

在几何意义的单位圆中，我们将圆周角均分成n份，则叫做单位根的幅角

由欧拉公式得

欧拉公式

我们定义表示一个n次单位根，则

主n次单位根

又被称为主n次单位根，而其余、等叫做n次单位根的幂次，记为：，则

n次单位根的幂次

可以很容易知道

n次单位根的性质

下面我们证明n次单位根的两个性质

六、单位复数根的性质—消去引理

设d>0为任何一个整数，则

消去引理

七、单位复数根的性质—折半引理

由

折半引理

则可以得到

折半引理

至此，可以看到通过消去和折半引理，我们将n的规模降低到了原来的一半

八、离散傅里叶变换：DFT和IDFT

回顾之前我们的多项式函数

多项式函数

我们将n次单位根的幂次项：依次带入A(x)，则得到

离散傅里叶正变换

记向量是系数向量的离散傅里叶变换，也称离散傅里叶正变换（DFT）

则对应的离散傅里叶逆变换（IDFT）为

离散傅里叶逆变换

可以看到：

（1）DFT对应着多项式求值

（2）IDFT对应着插值，即求多项式的系数

九、快速傅里叶变换：FFT

由DFT定义可知，将全部依次带入A(x)计算出多项式的时间复杂度仍然是

此时我们就需要利用之前所讲的n次单位复数根的知识，将A(x)中的偶数下标和奇数下标的系数，分别用两个新的多项式A1(x)和A2(x)来表示，即

偶数下标的多项式

奇数下标的多项式

注意：A(x)的次数界为n，A1(x)的次数界为n/2，A2(x)的次数界也为n/2

则可以得到A(x)和A1(x)、A2(x)的关系为

多项式函数关系

我们将带入得，其中

快速傅里叶变换1

至此，我们就得到了在之间的所有求值

下面还需要计算之间的的值，根据折半引理，我们将带入得

快速傅里叶变换2

至此，我们就得到了之间的所有求值

观察上面两个式子，不难发现：

（1）和的计算式子里只有一个常数项互为相反数

（2）在之间枚举出后，就可以在的时间里得到的

（3）原问题的规模缩小了一半（分治法的思想）

至此，我们利用数学中n次单位复数根的性质，将DFT优化为FFT（快速傅里叶正变换），即

快速傅里叶正变换

十、FFT求解多项式乘法的步骤

通过以上的研究，我们可以总结出使用FFT计算多项式乘法的时间复杂度

FFT计算多项式乘法的时间复杂度

FFT利用n次单位复数根和分治法的思想，将多项式乘法的时间复杂度由降低到了

最后我们可以总结出求解多项式乘法的高效算法步骤为：

（1）加倍次数界：由分治法的思想，将两个多项式的次数界补全为2的幂次

（2）求值：通过FFT计算出两个多项式的点值表达，即2n次单位复数根的多项式函数取值

（3）逐点相乘：将两个多项式的点值依次相乘，得到相乘结果的点值

（4）插值：通过IDFT计算相乘结果的点值，得到相乘结果的每一个系数

十一、python编程实战FFT大数乘法

计算离散傅里叶正变换

计算离散傅里叶逆变换

FFT

IFFT

使用矩阵乘法的DFT和FFT

十二、结果分析

我们随便用两个386位和422位的整数，进行下面实验比较计算乘法的时间消耗

（1）不使用矩阵乘法的离散傅里叶变换DFT

（2）使用矩阵乘法的离散傅里叶变换DFT

（3）使用矩阵乘法的快速傅里叶变换FFT

（4）直接使用numpy封装的FFT

运行代码，实验结果如下

结果分析

至此，我们可以总结出

（1）FFT采用分治算法的思想，利用数学中n次单位复数根的性质，将时域转化为频域，再到频域转化为时域，非常高效的提高了多项式乘法效率！

（2）我们根据数学理论一步步封装的FFT和numpy封装的FFT性能上非常接近

案例代码见：大数乘法—多项式与快速傅里叶变换