李群和李代数（书，讲义和一些总结）

李群和李代数（一）

数学是一直喜欢的，不过大多数时候是浅尝辄止，一本 Nakahara 的 “Geometry, Topology and Physics” 已经足够我混迹江湖了，常伴身边，翻了又翻。一个朋友和我说：“我真高兴，我不是你，不用看这么多数学。” 有时候也羡慕100年前的物理学家，会个微积分就可以大杀四方，群论，微分几何和拓扑都是数学家的奇技淫巧。不过更多的时候还是欣喜可以学到这么美丽精巧的东西，我想说：“我真高兴，我不是数学家，不用理会数学中那么多的细枝末节。” 当然了，数学懂的也多，也就越来越可以领会多一些的“细枝末节”的乐趣，而数学本身却像是分形一样无穷无尽。

下面是我看的一些参考书。

1. A. Zee 的 “Group theory in a Nutshell for physicists”
   徐一鸿的大名就足以保证书的质量了。这也是他普林斯顿出版社“果壳”系列（这个出版社还出了很多其他“果壳”涵盖物理种种）：“果壳里的场论”，“果壳里的相对论” ，“果壳里物理学家的群论”的最新品。相对论那本在图书馆看到了翻了翻，觉得并没有他的风格，小心翼翼的，完全没有另外两本的信手拈来有趣。这本书教会了我一些从物理角度看数学（如果有这种的说法）的感觉。比如从对称的角度来理解量子场论（量子力学），不管是场的一种构型或是量子系统的一个状态都由一个包涵了所有信息的量子态（满足一定代数结构的抽象的算符）决定。对称性对应了一些对称（数学结构称为群）操作，这些操作把一个算符变成其他的算符，新的算符可能并不对应了这个系统的任何量子态。如果一个系统具有某种对称性就是说，在对称操作下，量子态被变成量子态。一个量子态也可以理解为一个理论的解，所以刚才的描述也可以说是，对称操作可以把一个解转换成另外的解。这里有个很深刻的物理内涵：对称的物理系统的解并不一定要求具有系统本身的对称性，但是如果一个解已知存在，那么所有的在对称操作下得到的新的解也一定是存在的。所以看似纷繁的世界的可能源于一个高度对称的简单的理论（描述所有粒子的标准模型有12个基本对称操作）。所有的的解也可以由在对称操作下不同的转化方式来分类。每一种转化方式对应了一种对称的表示（representation）。通过研究群的表示我们就能知道一个系统的可能的量子态，而所谓的基本粒子就对应了基本（不可约，irreducible）的群的表示。我们也可以理解为群的表示（数学）和量子态（物理）有一个 一对一的对应，当我意识到这个的时候，觉得生活真美好。
   这本书李群李代数部分讲的并不多（这就是for physicists 的部分），只是讲了一下简单（simple）李群的结构和分类，像物理那样讲的，来龙去脉的，例子和细节都很丰富，做具体计算的时候，我参考了很多。
2. SUNY石溪的李群李代数的讲义 by Alexander Kirillov. Jr.
   杨振宁在石溪待了好多年，那的理论研究所应该很不错的，物理系的大楼很漂亮，让我一见倾心。
   这个就是比较完整的对李群还有李代数的入门介绍（introduction）了。李群有一个拓扑结构或者说是流形（manifold）结构。流形（manifold）可能是物理学家最喜欢的词。“流形”这个中文翻译简直好的不能再好了。最最粗略的理解就是，流形就是一个弯曲的空间，但是在空间的每一点的局部都可以近似为一个平坦的补丁。在那块平坦的补丁上就可以定义一个向量空间来表示方向。如果我们知道了每一块补丁（local），就能完整地拼出整个(global)流行了。李群的向量空间就是李代数。李群出了这个流形或是拓扑结构以为还有自己的代数结构（群结构）。结果呢由于这个群结构，我们只需要知道一块补丁，李代数，就能了解绝大部分的李群结构了，因为其他补丁都可以由群结构和李代数组合得到。
   之前我在物理上遇到的所有的李群或是李代数都是简单（simple）的。这里简单不是一个形容词，是代表了一大类李代数。李代数大概就两大类：简单（simple）的还有可解的（solvable）。所有的李代数最后都可以分解成这两类的组合。这两类是李代数的代数结构复杂程度上的两个极端。最最简单的李代数是阿贝尔（Abelian）的，可以说是没有代数结果。而可解的就是最最接近的Abelian的非平凡的代数结构，可以理解为许多AbelIan李代数的一种组合。Simple的李代数的代数反而是最复杂的，因为是完全无法简化分解的。但是有趣的是，所有的简单的李代数（在复数域上）已经被完全分类了，而且就有那么几种。这样我想起了爱因斯坦的一句名言：“God is subtle, but He is not malicious”, 山穷水尽必有柳暗花明。
   像我的导师说的，物理学家太熟悉simple李代数了而往往被他限制和蒙蔽而忘掉了李代数另外一大类。
3. 陶哲轩的博客笔记 “Notes on the classification of complex Lie algebras”
   陶哲轩应该是现在最负盛名的数学家之一了吧。他的博客记录了他很多的数学笔记和感悟。他是那种能站在高处把很多数学不同分支融合在一起的人。这个是很厉害的境界。一般做学问的人，都有一个自己的核，一个扎根很深的知识体系，有了这个核，在看其他的也就容易融会贯通。有点像金庸小说里的小无相功的感觉。但是要做到九阳神功那种在学他功夫都可以很快融会贯通的境界就需要多个核。
   这个笔记的关注点也是simple李代数的分类。像他自己说的，这个笔记是他的整理和学习的过程。可能没有他很多自己独到的理解，不过看着大师做推导和整理总是有意思和受益匪浅的。同样的太祖长拳，乔峰打一样威力惊人。
4. “Lie groups, Physics, and Geometry” by Robert Gilmore
   我最喜欢的讲李代数的书，因为他用矩阵语言啊，物理学家两外一个最喜欢的词，管你什么代数什么几何什么拓扑，都给你整成矩阵，我就可理解就可以计算有意思的东西了。开篇就让我惊叹不已。他叙述了另外一个研究李群和李代数的动机，可能也是最初的数学家的动机：解微分方程。群论的发展是由伽罗瓦研究代数方程开始的，这本书的第一章就是介绍这个。这个典故我是听过很多年的，真的很开心可以具体了解这个理论。从这个角度和动机出发，似乎李代数很多东西都变得自然和“原来如此”。
   每一章都有一个很完整的总结，好书！
   在这本书里我第一次学到了对称群，动力学（dynamic）对称群还有谱生成（spectrum generating）群的概念，豁然开朗，其中乐趣，不亲身体会不能描述。
5. Springer-Verlag 出版社的数学小黄书系列（卷20&41） 李群李代数 I III by A. L. Onishchik （I III）& E. B. Vinberg（III）
   这个就是比较全面正式的李群还有李代数的书了。作者是俄国代数大师。我看这本也是要弄清楚有些东西最最完整和精确的定义。比如Cartan algebra 比如 rank。这个是我导师要求的，他不太信任那些似是而非的东西。这本书用他的话就是：“可以信任的。” 虽然我浙的校训是“求是，创新”，但是这本书的“求是”在我眼里就是有点偏离主题了。还有就是我怀着一种略微“功利”的心态来学数学，所以其中的美也被我当烂白菜一锅东北乱炖了。不过有了这本最最坚实的地基，不怕上层的楼歪到哪里去。

再有时间就整理一下私的李代数的笔记。