对于大量的输入数据，链表的线性访问时间太慢，不宜使用。 本章讨论一种简单的数据结构，其大部分操作的运行时间平均为O(logN)。 我们还要简述对这种数据结构在概念上的简单的修改，它保证了在最坏情形下上述的时间界。 此外，还讨论了第二种修改，对于长的指令序列它基本上给出每种操作的O(logN)运行时间。
这种数据结构叫作二叉查找树(binarysearch tree)。二叉查找树是两种库集合类TreeSet 和TreeMap实现的基础，它们用于许多应用之中。在计算机科学中树(tree)是非常有用的抽象概念，因此，我们将讨论树在其他更一般的应用中的使用。
4.1 预备知识
树(tree)可以用几种方式定义。定义树的一种自然的方式是递归的方式。一棵树是一些节点的集合。这个集合可以是空集；若不是空集，则树由称作根(root)的节点r以及0个或多个非 空的（子）树T1'Tz,…，兀组成，这些子树中每一棵的根都被来自根r的一条有向的边(edge)所连结。
每一棵子树的根叫作根r的儿子(child), 而r是每一棵子树的根的父亲(parent)。图4-1显示用递归定义的典型的树。
从递归定义中我们发现，一棵树是N个节点和N-1条边的集合，其中的一个节点叫作根。存在N-1条边的结论是由下面的事实得出的：每条边都将某个节点连接到它的父亲，而除去根节点外每一个节点都有一个父亲（见图4-2)。
在图4-2的树中，节点A是根。节点F有一个父亲A并且有儿子K、L和M。每一个节点可以有任意多个儿子，也可能是零个儿子。没有儿子的节点称为树叶(leaf); 上图中的树叶是B、C、H、I,p、Q、K、L,M和N。具有相同父亲的节点为兄弟(siblings); 因此，K、L和M都是兄弟。用类似的方法可以定义祖父(grandparent)和孙子(grandchild)关系。
从节点n1 到m的路径(path) 定义为节点n 1 , n2 , …，nk 的一个序列，使得对于1<= i < k节点ni是ni+ 1的父亲。这条路径的长(length) 是为该路径上的边的条数，即k -1。从每一个节点到它自己有一条长为0 的路径。注意，在一棵树中从根到每个节点恰好存在一条路径。
对任意节点ni, n,i的深度(depth) 为从根到n; 的唯一的路径的长。因此，根的深度为0。ni的高(height) 是从ni到一片树叶的最长路径的长。因此所有的树叶的高都是0。一棵树的高等于它的根的高。对于图4-2中的树，E的深度为1而高为2;F的深度为1而高也是1; 该树的高为3。一棵树的深度等于它的最深的树叶的深度；该深度总是等于这棵树的高。
如果存在从n 1 到nz 的一条路径，那么n 1 是n z 的一位祖先(ancestor) 而nz 是n1 的一个后裔(descendant) 。如果n 1！=n2 , 那么n 1 是n2 的真祖先(proper ancestor) 而n 2 是n 1 的真后裔(properdescendant) 。
4. 1. 1 树的实现
实现树的一种方法可以是在每一个节点除数据外还要有一些链，使得该节点的每一个儿子都有一个链指向它。然而，由于每个节点的儿子数可以变化很大并且事先不知道，因此在数据结构中建立到各（儿）子节点直接的链接是不可行的，因为这样会产生太多浪费的空间。实际上解决方法很简单：将每个节点的所有儿子都放在树节点的链表中。图4-3 中的声明就是典型的声明。
图4-4指出一棵树如何用这种实现方法表示出来。图中向下的箭头是指向firstChild（第一儿子）的链，而水平箭头是指向nextSibling(下一兄弟）的链。因为null 链太多了，所以没有把它们画出。
在图4-4的树中，节点E有一个链指向兄弟(F)'另一链指向儿子(/)'而有的节点这两种链都没有。
4.2 二叉树
二叉树(binary tree) 是一棵树，其中每个节点都不能有多于两个的儿子。
图4-11显示一棵由一个根和两棵子树组成的二叉树，子树兀和兀均可能为空。
二叉树的一个性质是一棵平均二叉树的深度要比节点个数N 小得多，这个性质有时很重要。分析表明，其平均深度为O(√n），而对于特殊类型的二叉树，即二叉查找树(binary search tree),其深度的平均值是O（log N）。
不幸的是，正如图4-12中的例子所示，这个深度是可以大到N-1的。
4.3 查找树ADT——二叉查找树
二叉树的一个重要的应用是它们在查找中的使用。假设树中的每个节点存储一项数据。 在我们的例子中，虽然任意复杂的项在 Java 中都容易处理，但为简单起见还是假设它们是整数。还将假设所有的项都是互异的，以后再处理有重复元的情况。
使二叉树成为二叉查找树的性质是，对于树中的每个节点X, 它的左子树中所有项的值小于X中的项，而它的右子树中所有项的值大于X中的项。注意，这意味着该树所有的元素可以用某种一致的方式排序。在图4-15 中，左边的树是二叉查找树，但右边的树则不是。右边的树在其项是6的节点（该节点正好是根节点）的左子树中，有一个节点的项是7。
现在给出通常对二叉查找树进行的操作的简要描述。注意，由于树的递归定义，通常是递归地编写这些操作的例程。因为二叉查找树的平均深度是O(log N),所以一般不必担心栈空间被用尽。图4-15 两棵二叉树（只有左边的树是查找树）
二叉查找树要求所有的项都能够排序。要写出一个一般的类， 我们需要提供一个interface(接口）来表示这个性质。这个接口就是Comparable, 第1 章曾经描述过。该接口告诉我们，树中的两项总可以使用compareTo 方法进行比较。由此，我们能够确定所有其他可能的关系。特别是我们不使用equals 方法，而是根据两项相等当且仅当compareTo 方法返回O来判断相等。另一种方法是使用一个函数对象，将在4. 3. 1 节中描述。图4-16 还指出，BinaryNode 类象链表类中的节点类一样，是一个嵌套类。
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4. 4 AVL树
AVL( Adelson-V elskii 和Lnadis)树是带有平衡条件(balance condition)的二叉查找树。
一棵AVL树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树。在图4-29中，左边的树是AVL树，但是右边的树不是。每一个节点（在其节点结构中）保留高度信息。可以证明，粗略地说，一个AVL树的高度最多为1.44 log (N + 2) -1. 3 28 ,但是实际上的高度只略大于log N 。作为例子，图4-30显示了一棵具有最少节点(143)高度为9的AVL树。这棵树的左子树是高度为7且大小最小的AVL树，右子树是高度为8且大小最小的AVL树。它告诉我们，在高度为h 的AVL树中，最少节点数S(h) 由S(h)=S(h -1) +S(h -2) + 1给 出。对于h=O, S(h)= l; h=l, S(h)= 2 。函数S(h)与斐波那契数密切相关，由此推出上面提到的关于AVL树的高度的界。
因此，除去可能的插入外（我们将假设懒惰删除），所有的树操作都可以以时间O(log N)执行。当进行插入操作时，我们需要更新通向根节点路径上那些节点的所有平衡信息，而插入操作隐含着困难的原因在于，插入一个节点可能破坏AVL树的特性（例如，将6插入到图4-29中的AVL树中将会破坏关键字为8的节点处的平衡条件）。如果发生这种情况，那么就要在考虑这一步插人完成之前恢复平衡的性质。事实上，这总可以通过对树进行简单的修正来做到，我们称其为旋转(rotation)。
在插入以后，只有那些从插入点到根节点的路径上的节点的平衡可能被改变，因为只有这些节点的子树可能发生变化。当我们沿着这条路径上行到根并更新平衡信息时，可以发现一个节点，它的新平衡破坏了AVL条件。我们将指出如何在第一个这样的节点（即最深的节点）重新平衡这棵树，并证明这一重新平衡保证整个树满足AVL性质。
我们把必须重新平衡的节点叫作a。由于任意节点最多有两个儿子，因此出现高度不平衡就需要a 点的两棵子树的高度差2 。容易看出，这种不平衡可能出现在下面四种情况中：
1. 对a的左儿子的左子树进行一次插入。
2. 对a的左儿子的右子树进行一次插入。
3. 对a的右儿子的左子树进行一次插入。
4. 对a的右儿子的右子树进行一次插入。
笫一种情况是插入发生在“ 外边” 的情况（即左－左的情况或右－ 右的情况），该情况通过对树的一次单旋转(single rotation) 而完成调整。第二种情况是插入发生在“ 内部” 的情形（即左－ 右的情况或右－ 左的情况），该情况通过稍微复杂些的双旋转(double rotation)来处理。我们将会看到，这些都是对树的基本操作，它们多次用在一些平衡树算法中。
4.5 伸展树
现在我们描述一种相对简单的数据结构，叫作伸展树(splay tree) , 它保证从空树开始连续M次对树的操作最多花费O(M log N)时间。虽然这种保证并不排除任意单次操作花费O(N)时间的可能，而且这样的界也不如每次操作最坏情形的界为O(log N)时那么强，但是实际效果却是一样的：不存在坏的输入序列。一般说来， 当M次操作的序列总的最坏情形运行时间为O(Mf(N))时，我们就说它的摊还(amortized)运行时间为0(/(N))。因此，一棵伸展树每次操作的摊还代价是O(log N)。经过一系列的操作，有的操作可能花费时间多一些，有的可能要少一些。
伸展树基于这样的事实：对于二叉查找树来说，每次操作最坏情形时间O(N) 并不坏， 只要它相对不常发生就行。任何一次访问，即使花费O(N), 仍然可能非常快。三叉查找树的间颖在于，虽然一系列访问整体都是坏的操作有可能发生，但是很罕见。此时，累积的运行时间很重要。具有最坏情形运行时间O(N)但保证对任意M次连续操作最多花费O(Mlog N)运行时间的查找树数据结构确实可以令人满意了，因为不存在坏的操作序列。
如果任意特定操作可以有最坏时间界O(N), 而我们仍然要求一个O(log N)的摊还时间界，那么很清楚，只要一个节点被访问，它就必须被移动。否则，一旦发现一个深层的节点，我们就有可能不断对它进行访问。如果这个节点不改变位置，而每次访问又花费O(N), 那么M次访问将花费O(M·N)的时间。
伸展树的基本想法是，当一个节点被访问后，它就要经过一系列AVL树的旋转被推到根上。注意，如果一个节点很深，那么在其路径上就存在许多也相对较深的节点，通过重新构造可以减少对所有这些节点的进一步访问所花费的时间。因此，如果节点过深，那么我们要求重 新构造应具有平衡这棵树（到某种程度）的作用。除在理论上给出好的时间界外，这种方法还可能有实际的效用，因为在许多应用中当一个节点被访问时，它很可能不久再被访问。研究表明，这种情况的发生比人们预想的要频繁得多。另外，伸展树还不要求保留高度或平衡信息，因此 它在某种程度上节省空间并简化代码（特别是当实现例程经过审慎考虑而被写出的时候）。
4.6 再探树的遍历
由于二叉查找树中对信息进行的排序，因而按照排序的顺序列出所有的项很简单，图4-57中的递归方法进行的就是这项工作。
一个中序遍历的一般方法是首先处理左子树，然后是当前的节点，最后处理右子树。这个算法的有趣部分除它简单的特性外，还在于其总的运行时间是O(N)。这是因为在树的每一个节点处进行的工作是常数时间的。每一个节点访问一次，而在每一个节点进行的工作是检测是否null、建立两个方法调用、并执行prin已n。由于在每个节点的工作花费常数时间以及总共有N个节点，因此运行时间为O(N)。
有时我们需要先处理两棵子树然后才能处理当前节点。例如，为了计算一个节点的高度，首先需要知道它的子树的高度。图4-58中的程序就是计算高度的。由于检查一些特殊的情况总是有益的—一当涉及递归时尤其重要，因此要注意这个例程声明树叶的高度为零，这是正确的。这种一般的遍历顺序叫作后序遍历，我们在前面也见到过。因为在每个节点的工作花费常数时间，所以总的运行时间也是O(N)
我们见过的第三种常用的遍历格式为先序遍历(preorder traversal) 。这里，当前节点在其儿子节点之前处理。这种遍历是有用的。比如，如果要想用其深度标记每一个节点，那么这种遍历就会用到。
所有这些例程有一个共同的想法，即首先处理null的情形，然后才是其余的工作。注意，此处缺少一些附加的变量。这些例程仅仅传递对作为子树的根的节点的引用，并没有声明或是传递任何附加的变最。程序越紧凑，一些愚蠢的错误出现的可能就越少。第四种遍历用得很少，叫作层序遍历(level order traversal) , 我们以前尚未见到过。在层序遍历中，所有深度为d的节点要在深度d + 1 的节点之前进行处理。层序遍历与其他类型的遍历不同的地方在于它不是递归地执行的；它用到队列，而不使用递归所默示的栈。
4.7 B树
迄今为止，我们始终假设可以把整个数据结构存储到计算机的主存中。可是，如果数据更多装不下主存，那么这就意味着必须把数据结构放到磁盘上。此时，因为大 O 模型不再适用，所以导致游戏规则发生了变化。
问题在于，大0分析假设所有的操作耗时都是相等的。然而，现在这种假设就不合适了，特别是涉及磁盘I/0的时候。例如，一台500 - MIPS的机器可能每秒执行5亿条指令。这是相当快的，主要是因为速度主要依赖于电的特性。另 方面，磁盘操作是机械运动，它的速度主 要依赖于转动磁盘和移动磁头的时间。许多磁盘以7200RPM旋转。即1 分钟转7200转；因此，1转占用1/120秒，或即8.3毫秒。平均可以认为磁盘转到一半的时候发现我们要寻找的信息，但这又被移动磁盘磁头的时间抵消，因此我们得到访问时间为8.3毫秒（这是非常宽松的估计；9 -11毫秒的访问时间更为普通）。因此，每秒大约可以进行120 次磁盘访问。若不和处理器的 速度比较，那么这听起来还是相当不错的。可是考虑到处理器的速度，5亿条指令却花费相当 于120次磁盘访问的时间。换旬话说，一次磁盘访问的价值大约是40万条指令。当然，这里每一个数据都是粗略的计算，不过相对速度还是相当清楚的：磁盘访问的代价太高了。不仅如此，处理器的速度还在以比磁盘速度快得多的速度增长（增长相当快的是磁盘容量的大小）。因此，为了节省一次磁盘访问，我们愿意进行大最的计算。几乎在所有的情况下，控制运行时间的都是磁盘访问的次数。于是，如果把磁盘访间次数减少一半，那么运行时间也将减半。
在磁盘上，典型的查找树执行如下：设想要访问佛罗里达州公民的驾驶记录。假设有1千万项，每一个关键字是32字节（代表一个名字），而 一个记录是256个字节。假设这些数据不能都装入主存，而我们 是正在使用系统的20个用户中的一个（因此有1/20 的资源）。这样，在1秒内，我们 可以执行2 500万次指令，或者执行 6次磁盘访问。
不平衡的二叉查找树是一个灾难。在最坏情形下它具有线性的深度，从而 可能需要l千万次磁盘访问。 平均来看，一次成功的查找可能需要1.38 log N次磁盘访问，由于log 10 000 000 = 24 , 因此平均一次查找需要32 次磁盘访问，或5秒的时间。在一棵典型的随机构造的树中，我们预料会有一些节点的深度要深3倍；它们需要大约100 次磁盘访问，或16秒的时间。AVL树多少要好一些。1. 44 log N 的最坏悄形不可能发生，典型的清形 是非常接近于log N。这样，一棵 AVL树平均将使用大约25次磁盘访问，需要的时间是4秒。
我们 想要把磁盘访问次数减小到一个非常小的常数，比如3 或4; 而且我们愿意写一个复杂的程序来做这件事，因为在合理情况下机器指令基本上是不占时间的。由于典型的AVL树接近 到最优的高度，因此应该清楚的是， 二叉查找树是不可行的。使用二叉查找树我们不能行进到低于log N。解法直觉上看是简单的：如果有更多的分支， 那么就有更少的高度。这样，31个节 点的理想二叉树(perlect binary tree)有5层，而31个节点的5叉树则只有3层，如图4-59所示。一棵M叉查找树(M-ary search tree)可以有M路分支。随着分支增加， 树的深度在减少。 一棵 完全二叉树(complete binary tree)的高度大约为log2 N, 而 一棵完全M叉树(complete M -ary tree) 的高度大约是logMN。
我们可以以与建立二叉查找树大致相同的方式建立M叉查找树。在二叉查找树中，需要一 个关键字来决定两个分支到底取用哪个分支；而在M叉查找树中需要Ml个关键字来决定选取哪个分支。为使这种方案在最坏的情形下有效，需要保证M叉查找树以某种方式得到平衡。否则，像二叉查找树，它可能退化成一个链表。实际上，我们甚至想要更加限制性的平衡条件，即 不想要M叉查找树退化到甚至是二叉查找树，因为那时我们又将无法摆脱logN次访问了。
实现这种想法的一种方法是使用B树。这里描述基本的B树气许多的变种和改进都是可 能的，但实现起来多少要复杂些，因为有相当多的情形需要考虑。不过，容易看到，原则上B树保证只有少数的磁盘访问。
阶为M的B树是一棵具有下列特性的树:
1. 数据项存储在树叶上。
2. 非叶节点存储直到M-1 个关键字以指示搜索的方向； 关键字L代表子树i + 1中的最小的关键字。
3. 树的根或者是一片树叶，或者其儿子数在2和M 之间。
4. 除根外，肵有非树叶节点的儿子数在「M/2]和M之间。
5. 所有的树叶都在相同的深度上并有「L/ 2 ]和L之间个数据项