[线段树系列] 普通线段树

线段树是一种强大的数据结构，用于维护区间、图、树等各种数据。

线段树的“强大”体现在它面对各种类型的数据都有应付的方式，而且不断有“改进”版线段树的产生。

线段树是基于递归和分治思想的数据结构，一般用于维护具有“区间可加性”的数据。

什么是”区间可加性“呢，举几个例子：

区间和，区间最大最小值，区间LCA，区间质数个数

这些东西都有共同的特性：f(x,y)=f(f(x,z),f(z,y))，z∈[x,y]

于是我们就可以用线段树来维护。

随手画了张线段树的图，它大概长这样：

是不是很神奇?

它是怎么维护数据的呢？( 以维护区间数据为例 )

让我们用区间最大值为例：

假设原数组a是{1,2,3,4,5,6} (我习惯下标从1开始)

我们把原数组插入线段树，看看它各个节点的值：

假设我们要查询区间 [2,4] 的值：

我们发现并没有 [2,4] 这个节点，那怎么查询呢？

我们计算出 [2,4] 的mid值，mid=(l+r)/2=3。

然后我们查询区间 [2,3] 和区间 [4,4] ( 即区间[l,mid]和区间[mid+1,r] )。

区间 [4,4] 是叶子节点，返回它的值4。

回到 [2,3] 我们继续递归计算max( [2,2],[3,3] )返回3

得到最后的最大值4

这一段的代码：

int query(int p,int l,int r){
    if(l<=l(p) && r>=r(p))return val(p);
    int mid=(l(p)+r(p))>>1;
    int val=-INF;
    if(l<=mid)val=max(val,query(p<<1,l,r));
    if(r>mid)val=max(val,query(p<<1|1,l,r));
    return val;
}

等等，既然要维护数据，怎么能不支持修改呢？

线段树支持单点修改和区间修改。

单点修改非常简单，我这里就不介绍了。

直接来区间修改。

我们每次更新一个值都要把所有包含它的节点更新一次。

但是如果更新一整个区间，这个更新量是非常大的，作为一种高效数据结构是不会允许这么慢的修改的。

于是我们引进一个”打标记“的思想。

也就是给我们要更新的值先打上”你已经被修改了“的标记，等我们要用它的时候在改它。

在线段树中被称为”下发懒标记“——pushdown lazytag

下传标记的代码( 以维护区间和为例 )：

void pushdown(int p){
    if(add(p)){
        val(p<<1)+=add(p)*(r(p<<1)-l(p<<1)+1);
        val(p<<1|1)+=add(p)*(r(p<<1|1)-l(p<<1|1)+1);
        add(p<<1)+=add(p);
        add(p<<1|1)+=add(p);
        add(p)=0;
    }
}

这里我们的懒标记是加(add)，懒标记还可以是乘(mul)，或者加乘混合(需要符合运算法则)

接下来放建树的代码：

void pushup(int p){
    val(p)=val(p<<1)+val(p<<1|1);
}
void build(int p,int l,int r){
    l(p)=l,r(p)=r;//保存每个节点的左右儿子的编号
    if(l==r){
        val(p)=a[l];
        return;
    }pushdown(p);
    int mid=(l+r)>>1;
    build(p<<1,l,mid);build(p<<1|1,mid+1,r);//递归建树 
    pushup(p);//更新值
}

上一份维护区间和的完整代码吧：

 

#include
using namespace std;
inline int read(){
    int data=0,w=1;char ch=0;
    while(ch!='-' && (ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}//快读
const int maxn=100010;
int n,m,a[maxn];
struct SegmentTree{
    int l,r;//左右节点编号
    int val,add;//节点值，标记
    #define l(x) tree[x].l
    #define r(x) tree[x].r
    #define val(x) tree[x].val
    #define add(x) tree[x].add
}tree[maxn<<2];
void pushup(int p){
    val(p)=val(p<<1)+val(p<<1|1);//更新，一个节点用它的左右两个节点更新
}
void build(int p,int l,int r){//建树代码
    l(p)=l,r(p)=r;
    if(l==r){
        val(p)=a[l];return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(p<<1,l,mid);build(p<<1|1,mid+1,r);
    pushup(p);
}
void pushdown(int p){//下传懒标记
    if(add(p)){
        val(p<<1)+=add(p)*(r(p<<1)-l(p<<1)+1);
        val(p<<1|1)+=add(p)*(r(p<<1|1)-l(p<<1|1)+1);
        add(p<<1)+=add(p);
        add(p<<1|1)+=add(p);
        add(p)=0;
    }
}
int query(int p,int l,int r){//查询
    if(l<=l(p) && r>=r(p))return val(p);
    pushdown(p);
    int mid=(l(p)+r(p))>>1;
    int ret=0;
    if(l<=mid)ret+=query(p<<1,l,r);
    if(r>mid)ret+=query(p<<1|1,l,r);
    return ret;
}
void update(int p,int l,int r,int d){//修改
    if(l<=l(p) && r>=r(p)){
        val(p)+=d*(r(p)-l(p)+1);add(p)+=d;
        return;
    }
    pushdown(p);
    int mid=(l(p)+r(p))>>1;
    if(l<=mid)update(p<<1,l,r,d);
    if(r>mid)update(p<<1|1,l,r,d);
    pushup(p);
}
int main(){
    n=read();m=read();//读入数据个数，操作个数
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();//读入数据
    build(1,1,n);//建树
    int opt,l,r,d;
    while(m--){
        opt=read();l=read();r=read();
        if(opt==1)//查询
            printf("%d\n",query(1,l,r));
        else{
            d=read();//区间加上这个值
            update(1,l,r,d);//修改
        }
    }
    return 0;
}

 

撰文不易，希望能帮到各位，下一篇讲动态开点线段树，本系列持续更新