数据结构与算法之B树(十)

一 序言

B树是一种平衡的多路搜索树,多用于文件系统,数据库的实现。也称(B-tree或B-树)

二 B树的特点
  1. 一个节点可以存储超过2个元素,可以拥有超过2个子节点
  2. 拥有二叉搜索树的一些性质
  3. 平衡,每个节点的所有子树高度一致
  4. 比较矮
数据结构与算法之B树(十)_第1张图片
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三 m阶B树的性质(m >= 2)
  1. 假设一个节点存储的元素个数为 x
  • 根节点:1 ≤ x ≤ m − 1
  • 非根节点:┌ m/2 ┐ − 1 ≤ x ≤ m − 1(向上取整)
  • 如果有子节点,子节点个数 y = x + 1
    • 根节点:2 ≤ y ≤ m
  • 非根节点:┌ m/2 ┐ ≤ y ≤ m
比如 m = 3,2 ≤ y ≤ 3,因此可以称为(2, 3)树、2-3树 
比如 m = 4,2 ≤ y ≤ 4,因此可以称为(2, 4)树、2-3-4树 
比如 m = 5,3 ≤ y ≤ 5,因此可以称为(3, 5)树
比如 m = 6,3 ≤ y ≤ 6,因此可以称为(3, 6)树
比如 m = 7,4 ≤ y ≤ 7,因此可以称为(4, 7)树

思考:如果 m = 2,那B树是什么样子? ◼
你猜数据库实现中一般用几阶B树? 200 ~ 300

四 B树 VS 二叉搜索树

B树二叉搜索树,在逻辑上是等价的

  • 多代节点合并,可以获得一个超级节点

    • 2代合并的超级节点,最多拥有 4 个子节点(至少是 4阶B树)
    • 3代合并的超级节点,最多拥有 8 个子节点(至少是 8阶B树)
    • n代合并的超级节点,最多拥有 2n个子节点( 至少是 2n阶B树)
  • m阶B树,最多需要 log2m 代合并

数据结构与算法之B树(十)_第2张图片
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数据结构与算法之B树(十)_第3张图片
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4.1 搜索

跟二叉搜索树的搜索类似

数据结构与算法之B树(十)_第4张图片
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  1. 先在节点内部从小到大开始搜索元素
  2. 如果命中,搜索结束
  3. 如果未命中,再去对应的子节点中搜索元素,重复步骤1
4.2 添加

新添加的元素必定是添加到叶子节点

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4.2.1 插入55
数据结构与算法之B树(十)_第6张图片
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4.2.2 插入95
数据结构与算法之B树(十)_第7张图片
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4.2.3 再插入98?(假设是一棵4阶B树)

最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制
这种现象可以称之为 上溢(overflow)

4.2.4 添加 - 上溢的解决(假设5阶)
  1. 上溢节点的元素个数必然等于m

  2. 假设上溢节点最中间元素的位置为k

  • k位置的元素向上与父节点合并
  • [0, k-1][k + 1, m - 1] 位置的元素分裂成 2 个子节点
    • 这 2 个子节点的元素个数,必然都不会低于最低限制(┌ m/2 ┐ − 1)
  1. 一次分裂完毕后,有可能导致父节点上溢,依然按照上述方法解决 * 最极端的情况,有可能一直分裂到根节点
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4.2.5 添加
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  1. 插入98
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  1. 插入52
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  1. 插入54
数据结构与算法之B树(十)_第12张图片
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4.3 删除
4.3.1 删除 - 叶子节点

假如需要删除的元素在叶子节点中,那么直接删除即可

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◼删除 30

数据结构与算法之B树(十)_第14张图片
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4.3.2 删除 – 非叶子节点
  • 假如需要删除的元素在非叶子节点中
  1. 先找到前驱或后继元素,覆盖所需删除元素的值
  2. 再把前驱或后继元素删除

删除 60

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  • 非叶子节点的前驱或后继元素,必定在叶子节点中
    • 所以这里的删除前驱或后继元素 ,就是最开始提到的情况:删除的元素在叶子节点中
    • 真正的删除元素都是发生在叶子节点中
4.3.3 删除 - 下溢
数据结构与算法之B树(十)_第15张图片
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删除22(假设这是一棵5阶B树)
叶子节点被删掉一个元素后,元素个数可能会低于最低限制(>= ┌ m/2 ┐- 1

这种现象称为:下溢(underflow)

4.3.4 删除 - 下溢的解决

下溢节点的元素数量必然等于 ┌ m/2 ┐ − 2

如果下溢节点临近的兄弟节点,有至少 ┌ m/2 ┐ 个元素,可以向其借一个元素

  • 将父节点的元素 b 插入到下溢节点的 0 位置(最小位置)
  • 用兄弟节点的元素 a(最大的元素)替代父节点的元素 b
  • 这种操作其实就是:旋转
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4.3.5 删除 - 下溢的解决

如果下溢节点临近的兄弟节点,只有 ┌ m/2 ┐ − 1 个元素

  • 将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
  • 合并后的节点元素个数等于┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2,不超过 m − 1
  • 这个操作可能会导致父节点下溢,依然按照上述方法解决,下溢现象可能会一直往上传播
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4.3.6 4阶B树

如果先学习4阶B树(2-3-4树),将能更好地学习理解红黑树

◼ 4阶B树的性质

  • 所有节点能存储的元素个数 x :1 ≤ x ≤ 3
  • 所有非叶子节点的子节点个数 y :2 ≤ y ≤ 4

◼添加

  • 从 1 添加到 22

◼删除

  • 从 1 删除到 22
数据结构与算法之B树(十)_第18张图片
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本文参考 MJ老师的 恋上数据结构与算法


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