\[ Preface \]
没有 Preface。
\[ Description \]
维护一个长度为 \(n\) 的数列 \(A\) ，需要支持以下操作：
0 x y将 \(A_x\) 改为 \(y\) 。1 x y求 \(\max\limits_{x \leq l \leq r \leq y}{\sum_{i=l}^rA[i]}\) 。
\[ Solution \]
区间最大子段和 是一个非常经典的问题。
对于 整体最大子段和 来说，一般有 \(O(n)\) 的 贪心 和 分治 做法，我们讨论的重点是 分治 做法。
\(~\)
假设当前需求解最大子段和的区间是 \([l,r]\) ，令 \(mid=\left\lfloor\dfrac{l+r}{2}\right\rfloor\)
我们套路地把 \([l,r]\) 分成 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) ，来进行分治求解：
\(~\)
首先对于形如 \([l,l]\) 的区间，就十分好处理了，这里不多说。
\(~\)
接下来，考虑下最大子段和满不满足 区间可加性 ?（\([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 的最大子段和能否推至 \([l,r]\)）
显然，只维护一个最大子段和，对 左子区间 和 右子区间 的最大子段和取个 \(\max\) 是不能维护最大子段和的，因为其漏掉了 最大子段和同时包含左子区间和右子区间 的情况。
那么对于剩下的这一种情况，它是必定经过中点 \(mid\) 的，那这种情况的最大段就是 左子区间从右端点向左走的最大段 与 右子区间从左端点向右走的最大段 的并集，其值为 左子区间的后缀最大子段和 \(+\) 右子区间的前缀最大字段和 。
那我们再维护 前 \(/\) 后 缀最大子段和 ，对其三者取 \(\max\) ，最大子段和就满足区间可加性了。
维护 前 \(/\) 后 缀最大子段和 依旧可以分成 经过 \(mid\) \(/\) 不经过 \(mid\) 来讨论。
以前缀最大子段和为例，若经过 \(mid\) ，则最大段为 左子区间 与 右子区间从左端点向右走的最大段 的并集，其值为 左子区间和 \(+\) 右子区间的前缀最大子段和 ；若不经过 \(mid\) ，则最大段为 左子区间从左端点向右走的最大段 。二者取个 \(\max\) 即可。后缀最大子段和同理。
那我们再维护个 区间和 ，那 最大子段和 ，前 \(/\) 后 缀最大子段和 就都满足区间可加性了。
至于 区间和 \(......\) ，这玩意直接加就行了。
（上述内容大家可以自己画图感性理解一下
\(~\)
求解过程
约定变量：
\(sum\) : 区间和
\(lmax\) : 区间前缀最大子段和
\(rmax\) : 区间后缀最大子段和
\(wmax\) : 区间最大子段和
设函数 \(ask(l,r)\) 求的是关于区间 \([l,r]\) 的一个四元组\((\) \(sum\), \(lmax\), \(rmax\), \(wmax\) \()\)
首先有一个递归边界 \(l=r\) ，此时这四个元素均为 \(A_l\) 。
那对于一般情况，令 \(lc=ask(l,mid),rc=ask(mid+1,r)\) ，则有：
\[ self.sum=lc.sum+rc.sum \]
\[ self.lmax=\max(lc.lmax,lc.sum+rc.lmax) \]
\[ self.rmax=\max(rc.rmax,rc.sum+lc.rmax) \]
\[ self.wmax=\max(lc.wmax,rc.wmax,lc.rmax+rc.lmax) \]
此时 \(self\) 即为 \(ask(l,r)\) 。
struct data{
int sum;
int lmax;
int rmax;
int wmax;
};
data ask(int l,int r)
{
data self;
if(l==r)
{
self.sum=self.lmax=self.rmax=self.wmax=A[l];
return self;
}
int mid=(l+r)/2;
data lc=ask(l,mid),rc=ask(mid+1,r);
self.sum=lc.sum+rc.sum;
self.lmax=max(lc.lmax,lc.sum+rc.lmax);
self.rmax=max(rc.rmax,rc.sum+lc.rmax);
self.wmax=max(max(lc.wmax,rc.wmax),lc.rmax+rc.lmax);
return self;
}\(~\)
然后你会发现，若对于每个询问都调用一次 ask(l,r) 会稳稳 T 掉
那我 bb 这么多有什么用呢
大家仔细想想，这个分治的过程像不像某个数据结构呢？
线段树？
线段树！
是的，用线段树维护，每个节点保存的是该节点所代表的区间 \([l,r]\) 的 \((\) \(sum\), \(lmax\), \(rmax\), \(wmax\) \()\) 。
剩下的都是一些线段树基本操作了。
\[ Code \]
#include
#include
#define RI register int
using namespace std;
const int SIZE=500100;
int n,m;
int a[SIZE];
struct SegmentTree{
int l,r;
int sum;
int lmax;
int rmax;
int dat;
}t[SIZE*4];
void build(int p,int l,int r)
{
t[p].l=l;t[p].r=r;
if(l==r){t[p].sum=t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].dat=a[l];return;}
int mid=(l+r)/2;
build(p*2,l,mid);
build(p*2+1,mid+1,r);
t[p].sum=t[p*2].sum+t[p*2+1].sum;
t[p].lmax=max(t[p*2].lmax,t[p*2].sum+t[p*2+1].lmax);
t[p].rmax=max(t[p*2+1].rmax,t[p*2+1].sum+t[p*2].rmax);
t[p].dat=max(max(t[p*2].dat,t[p*2+1].dat),t[p*2].rmax+t[p*2+1].lmax);
}
void change(int p,int x,int val)
{
if(t[p].l==t[p].r){t[p].sum=t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].dat=val;return;}
int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
if(x<=mid)change(p*2,x,val);
else change(p*2+1,x,val);
t[p].sum=t[p*2].sum+t[p*2+1].sum;
t[p].lmax=max(t[p*2].lmax,t[p*2].sum+t[p*2+1].lmax);
t[p].rmax=max(t[p*2+1].rmax,t[p*2+1].sum+t[p*2].rmax);
t[p].dat=max(max(t[p*2].dat,t[p*2+1].dat),t[p*2].rmax+t[p*2+1].lmax);
}
SegmentTree ask(int p,int l,int r)
{
if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)return t[p];
int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
if(l<=mid&&midr)swap(l,r);
printf("%d\n",ask(1,l,r).dat);
break;
}
case '0':{
change(1,l,r);
break;
}
}
}
return 0;
} \[ Thanks \ for \ watching \]