思维导图
- 函数和基本初等函数
典例剖析
例1 【2016高考文科数学全国卷2第12题】【共用对称轴】已知函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(x)=f(2-x)\)，若函数\(y=|x^2-2x-3|\)与函数\(y=f(x)\)图像的交点为\((x_1，y_1)，(x_2，y_2)，\cdots，(x_m，y_m)\)，则\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}\)的值为【】
分析：函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(x)=f(2-x)\)，则函数的对称轴是直线\(x=1\)，
而函数\(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|\)的对称轴也是直线\(x=1\)，作出函数的图像如右图所示，
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则二者的交点个数\(m\)一定是偶数个，两两配对的个数为\(\cfrac{m}{2}\)，比如\(A\)和\(B\)配对，
则有\(\cfrac{x_1+x_m}{2}=1\)，\(x_1+x_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=\cfrac{m}{2}\cdot 2=m\)，故选\(B\)。
例2 【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足以下条件：
①对任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；②函数\(y=f(x+2)\)是偶函数；
③当\(x\in(0，2]\)时，\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\)，若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac{19}{2})\)，\(c=f(\cfrac{41}{4})\)，
则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是【 】
分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，
那么由①可知，函数满足\(f(x+4)=f(x)\)，其周期是\(4\)；
由②可知\(y=f(x)\)的对称轴是\(x=2\)，可以表达为\(f(x+4)=f(-x)\)，
那么在结合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，则函数\(f(x)\)还是偶函数；
由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上单调递增，
有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。
\(a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)\)；
\(b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)\)；
\(c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表达式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函数}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)\)；
或\(c=f(\cfrac{41}{4})=f(2+\cfrac{1}{4})=f(2+\cfrac{1}{4}-4)=f(-\cfrac{7}{4})=f(\cfrac{7}{4})=f(1.75)\)
由\(\because f(x)\)在区间\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)， \(\therefore f(1)
即\(a
例3 【2019届宝鸡理数质检Ⅲ第10题】定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足以下三个条件：
①对于任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+1)=f(x-1)\)；
②函数\(y=f(x+1)\)的图像关于\(y\)轴对称；
③对于任意的\(x_1，x_2\in [0，1]\)，都有\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\)；
则\(f(\cfrac{3}{2})\)、\(f(2)\)、\(f(3)\)的大小关系是【】
分析：本题目考查函数的各种性质的综合运用，其中主要涉及的是函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性；
由①可知，函数的周期为\(T=2\)，故可以简化其中的两项，\(f(2)=f(0)\)，\(f(3)=f(1)\)；
由②，通过图像的平移，可知函数\(y=f(x)\)的对称轴为直线\(x=1\)，即函数满足条件\(f(x)=f(2-x)\)，再赋值得到，\(f(\cfrac{3}{2})=f(2-\cfrac{3}{2})=f(\cfrac{1}{2})\)；
由③可知函数\(f(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递增，由于\(1>\cfrac{1}{2}>0\)，故\(f(1)>f(\cfrac{1}{2})>f(0)\)，即满足\(f(3)>f(\cfrac{3}{2})>f(2)\)，故选\(D\)。
例4 【2018高考真题全国卷二卷文科第12题】已知函数\(f(x)\)是定义在\((-\infty，+\infty)\)上的奇函数，满足\(f(1-x)=f(1+x)\)，若\(f(1)=2\)，则\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=\)【\(\hspace{2em}\)】。
分析：先将奇函数性质改写为，\(f(x)=-f(-x)①\)；
再将对称性\(f(1-x)=f(1+x)\)改写为\(f(2-x)=f(x)②\)，
由①②式可知，\(f(2-x)=-f(-x)\)，即\(f(2+x)=-f(x)\)，故\(T=2\times 2=4\)，
这样\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)，接下来就是重点求这些函数值；
由于函数是定义在\(R\)上的奇函数，故\(f(0)=0\)，则\(f(4)=f(4-4)=f(0)=0\)，
令\(x=0\)，则由\(f(2-x)=-f(-x)\)可得到\(f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0\)，即\(f(2)=0\)，
\(f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2\)，故\(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0\)，
即所求\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)\)
\(=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)
\(=f(1)+f(2)=2\)，故选\(C\)。
例5 【2016南京模拟】\(f(x)\)是定义在\((0，+\infty)\)上的单调增函数，满足\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，\(f(3)=1\)，当\(f(x)+f(x-8)\leqslant 2\)时，求\(x\)的取值范围。
分析：先将右侧的常数\(2\)函数化，\(2=1+1=f(3)+f(3)=f(3\times3)=f(9)\)，
而左侧的\(f(x)+f(x-8)\)需要融合为一个\(f\)的形式，此时需要逆用到题目中的\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，即\(f(x)+f(y)=f(xy)\)，
故\(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]\)，则原不等式等价于\(f[x(x-8)]\leqslant f(9)\)，
等价转化为\(\begin{cases}x>0\\x-8>0\\x(x-8)\leq 9\end{cases}\)， 解得\(8
例6 【2020\(\cdot\)高三文科练习】已知函数\(f(x)=lnx+2^x\)，若\(f(x^2-4)
分析：函数的定义域为\((0，+\infty)\)，且在定义域上单调递增，故由\(f(x^2-4)
得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2-4>0}\\{x^2-4<1}\end{array}\right.\) 解得\(-\sqrt{5}
故填写\((-\sqrt{5}，2)\cup(2，\sqrt{5})\)。
例7 已知函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，且\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；
分析：先求定义域，由于\(\sqrt{x^2+1}\ge \pm \sqrt{x^2}\)，故定义域为\((-\infty，+\infty)\)，
又由于\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，故\(f(x)+f(-x)=ln1=0\)，故函数为奇函数。
当\(x\in [0，+\infty)\)时，\(x^2\nearrow\)，\(1+x^2\nearrow\)，\(\sqrt{1+x^2}\nearrow\)，\(x+\sqrt{1+x^2}\nearrow\)，
\(y=ln(x+\sqrt{1+x^2})\nearrow\)，则由奇函数可知在\((-\infty，+\infty)\)上，\(f(x)\nearrow\)，
故由定义域为\(R\)，奇函数，单调递增，则由\(f(x-1)+f(x)>0\)，
得到\(f(x-1)>-f(x)=f(-x)\)，即\(x-1>-x\)，解得\(x>\cfrac{1}{2}\)，即\(x\in (\cfrac{1}{2}，+\infty)\)。
【变式1】已知奇函数\(f(x)\)定义域为\(R\)，且单调递增，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；
【变式2】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(-x)+f(x)=0\)，且在\(x\in [0，+\infty)\)上时，恒有\(f'(x)\geqslant 0\)成立，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；
【变式3】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)图像关于原点对称，且在\(x_1,x_2\in [0，+\infty)\)上时，有\(\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0(x_1\neq x_2)\)成立，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；
例8 【2017\(\cdot\)榆林模拟】函数\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，则不等式\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)的解集是【】
分析：这类题目往往需要取得符号\(f\)，而在此之前，需要转化为\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，
然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。
解析：先求定义域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定义域\((-1，1)\)；
再求奇偶性，\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函数为奇函数；
最后分析单调性，
法一，基本函数法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由于\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)为增函数，
所以函数\(g(x)\)为增函数，故函数\(f(x)=g(x)+sinx\)为\((-1，1)\)上的增函数，
法二，导数法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函数\(f(x)\)为\((-1，1)\)上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，
由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，变换得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，
由定义域和单调性得到以下不等式组：
\(\begin{cases}-1
例9 已知\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且\(f(x) =\begin{cases}2^{-x}-1， &x\leq 0 \\f(x-1) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)有两个不同实根，求\(a\)的取值范围\((-\infty，1)\)。
【法1】：基础作图法，利用给定的关系式得到函数在每一段上的解析式，然后分段作图。由\(f(x)=f(x-1)\)可知\(T=1\)；
当\(0
当\(1
当\(2
\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，
依此类推，得到如下的解析式：
\[f(x) =\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}-1，x\leqslant 0}\\{2^{1-x}-1，0< x \leqslant 1} \\{2^{2-x}-1，1< x\leqslant 2}\\{ 2^{3-x}-1，2< x\leqslant 3} \\ {2^{4-x}-1，3< x\leqslant 4}\\{\cdots，\cdots,}\end{array}\right.\]
依托上述解析式，我们就能容易做出静态函数\(y=f(x)\)和动态函数\(y=x+a\)的图像于同一个坐标系，
利用图像，就能轻松看出参数\(a\)的取值范围为\(a\in (-\infty，1)\)。
【法2】：快速作图法，解读给定的分段函数的解析式，第一段其实是作图的基础，难点是如何利用第二段来作图，
由于\(f(x)=f(x-1)(x>0)\)，说明函数在\((0，+\infty)\)上部分图像向右有周期性\(T=1\)，
又由于\(f(x-1)\)的图像是把\(f(x)\)的图像向右平移一个单位得到，故将第一段向右平移一个单位，然后截取图像的\((0,1]\)区间上的部分即可。
这样，在区间\((1,2]\)段上的图像，就是将\((0,1]\)段上的图像向右平移一个单位即可，
在区间\((2,3]\)段上的图像，就是将\((1,2]\)段上的图像向右平移一个单位即可，以此类推，
得到区间\((0，+\infty)\)上的所有图像，然后在同一个坐标系中再做出动态函数\(y=x+a\)的图像，
利用图像，就能轻松看出参数\(a\)的取值范围为\(a\in (-\infty，1)\)。
解后反思：函数与方程的相互等价转化，数形结合思想； 特殊分段函数的图像做法； 分段函数中只包含周期性的图像做法；