Description
求\(n\)个点无重边、无自环、带标号的无向联通图个数，对\(1004535809\)(\(479 \times 2^{21} + 1\))取模。\(n \le 130000\)
Solution
模数好像是在提示了......这个模数非常适合\(NTT\)。
还是想题吧。首先问自己一个问题：不要求联通会不会？不会
不连通的话最多有\(\binom{n}{2}\)条边，总方案数就是这些边选不选的问题，即\(2^{\binom{n}{2}}\)。
我们令不要求联通的\(n\)个点形成的简单无向图个数为\(g_n\)，联通图个数为\(f_n\)，不难发现有这个柿子
\[ g_n = \sum\limits_{i=1}^n \binom{n-1}{i-1}f_ig_{n-i} \]
意思是我枚举\(1\)号点所在联通块的大小，然后把这个联通快孤立起来，剩下的点随便连边。
看到这个柿子想卷积？有组合数不方便卷，我们观察到
\[ \binom{n-1}{i-1} = \frac{(n-1)!}{(n-i)!(i-1)!} \]
不妨把两边同时乘\(\frac{1}{(n-1)!}\)，然后再把剩下的分母分配一下
\[ \frac{g_n}{(n-1)!} = \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{f_i}{(i-1)!}\frac{g_{n-i}}{(n-i)!} \]
这个柿子就非常好做，我们令\(h_n = \frac{g_n}{(n-1)!}\)，然后用\(\frac{f_n}{(n-1)!}\)代替\(f_n\)，\(\frac{g_n}{n!}\)代替\(g_n\)，分别得到\(h,f,g\)的生成函数
\[ H(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} h_nx^n \]
\[ F(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} f_nx^n \]
\[ G(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} g_nx^n \]
显然有
\[ H(x) = F(x)G(x) \]
因为答案只与\(f_n\)有关，我们可以放到\(mod \ x^{n+1}\)下求\(F(x)\)。
即
\[ F(x) \equiv G^{-1}(x)H(x) \ (mod \ x^{n+1}) \]
对\(G\)求逆过后与\(H\)卷积，就求出了\(F(x)\)，然后答案就是\(f_n \times (n-1)!\)
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int P=1004535809,g=3,ig=334845270,N=500010;
inline int add(int x,int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int sub(int x,int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int fpow(int x,int y){
int ret=1; for (x%=P;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
if (y&1) ret=1ll*ret*x%P;
return ret;
}
namespace Poly{
int rev[N];
void init(int limit){
for (int i=0;i>1]>>1|((i&1)?limit>>1:0);
}
void ntt(int *f,int n,int flg){
for (int i=0;i>1,G);
int limit=1; while(limit<=2*n)limit<<=1; init(limit);
for (int i=0;i