爱因斯坦场方程为何难解，有哪些难处？

导读：本篇内容为网友涂涂先生提供，分享只为传播知识。是关于爱氏场方程解的问题。

数值解爱因斯坦场方程为啥难 ?

我听说“数值广义相对论”这个小方向从2005 年以后变得比较热门，是因为你说的这个突破吗？

没错，就是因为2005-2006年的这个突破。第一个成功的数值模拟是Caltech的一个博士后几乎单枪匹马完成的。近几年来，数值相对论产生了许多 重要结果，既包括相对论或引力物理方向的，也包括天体与高能物理方向的。竞争也一度白热化，曾发生几个小组在某会议前三天争相在物理学评论快报上就同一问 题灌水的事儿。

另外还想请教一下，数值解爱因斯坦场方程的难点在什么地方呢？我相信肯定是来源于非线性，但是具体点儿说呢？后 来他们怎么突破的？

这个我也不太懂，随便说说。

的确，非线性是导致数值解爱因斯坦场方程非常困难的根本原因。数值解非线性偏微分方程本身是个大问题。我的理解是，非线性系统的解对初始条件十分敏感。对 于混沌的非线性系统，著名的例子就是“蝴蝶效应”：当初始条件无法严格确定的时候，系统的长期演化是不可预测的。即便对于那些不混沌的非线性系统，当初始 条件有偏差时，这个偏差通常也会随时间以指数速度放大，导致初条件失之毫厘而结果谬以千里。

由于数值计算只能实现有限精度，舍入误差不可避免。如果这些误差不受控制的随非线性系统演化，结果可想而知。

不过仅就非线性带来的困难而言，爱因斯坦场方程也未见得就比著名的磁流体力学方程更吓人。导致数值解爱因斯坦场方程成为极端难题的是非线性系统的共性与广 义相对论的个性的结合。爱因斯坦场方程的解是个场（废话）。这个场描述的不是流体的密度、电磁场的强度之类的普通角色，而是时空的几何结构。在广义相对论 中，不但物质与能量的发展变化是统一的，物质能量与时空的演化也是一体的。正如 John Archibald Wheeler 教导我们的：

Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.

在此，时空不再是物质世界永恒不变的背景，它是物质世界本身。具体到工作在数值相对论领域的物理学家们，空间如何延展，时间如何流逝，都是他们在演化爱因 斯坦场方程时随时要澄清的。当这些对经验直观产生挑战的微妙问题与方程本身的非线性特性结合时，产生了一系列（以下的例子均为道听途说和个人理解）。

一，数学没跟上的代价。

为了进行数值演化，爱因斯坦场方程要被改写成一组（几十个）一阶偏微分方程，而为了保证解的稳定性这个偏微分方程组必须构成一个双曲的柯西问题。不管后半 句是啥意思，总之人们直到2000年左右才搞清楚这一点，并意识到大家几乎白忙了快二十年。

二，黑洞中心的奇点怎么办？

所有物理量在奇点都是无穷大，这怎么搞数值模拟呢？根据两种不同数值方法的采用，两种方案产生了。

第一帮人用的是标准的有限元法，朴实无华，程序相对简单，不过运行速度较慢。他们说，奇点不用担心，只要奇点不恰好运行到坐标格点附近估计就没事儿。如果 奇点接近了坐标格点，稍微挪挪格点们就成。信不信由你，这么搞居然成功了，尽管事后几年人们才逐渐理解为什么会成功。

第二帮人用的是波谱法(pseudo spectral method)，程序复杂但运行速度极快。不幸的是，直至目前，他们省下来的运行时间基本上都用来写程序了。他们说，物理量变化越平缓光滑波谱法越牛，甭 说奇点本身，就是靠近奇点我们都受不了。我们必须把奇点从计算区域中扣掉，并在扣除的边界上加适当的边界条件。事实证明，加边界条件不难，不过尾随奇点的 运动并扣掉适当的区域可费了大劲了。至今波谱法程序还时常受此困扰。

三，动态的规范(guage)条件。

这个类似于坐标系的选取。对同一个问题，我们可以自由的选取不同的坐标系，写出不同坐标系下长相不同的方程组，解出不同的数值解，不过有一点可以肯定，我 们最终会得到同样的物理过程，同样的因果关系，否则一定有人算错了。你可以把东改成叫“西”，把西改成叫“东”，太阳该从哪边升起还是从哪边升起。当然， 恰当的选取坐标系可以极大的简化计算。一个球对称的系统你非要用直角坐标那是找事儿。规范自由度与之类似，有些计算中自由度的选取不影响物理结果本身。在 此我以电磁场方程作个类比。如果你对洛伦兹规范这个名称不陌生的话大概也会记得麦克斯韦方程组在这个规范下可以写成一个多么简洁而对称的形式。在解爱因斯 坦场方程的过程中，恰当的选取规范条件不但可以简化计算，更是决定成败的关键。

还是以坐标系的选取为例，对于一个球对称的史瓦西黑洞，我们自然是选取球坐标来描述。可是越接近视界的地方，引力场越强，时空的扭曲也越强。视界的位置 上，时空度规变成无穷大，时间与空间发生”反转“，这看似是奇点。其实这只是坐标奇点，是由于不恰当的坐标选取造成的。如果我们选取爱丁顿坐标就会发现， 在视界的位置上没有任何物理量是无穷大。可见，一个以平时经验看来自然而然的坐标选择当遇到黑洞这种极端环境时，随时可能产生意想不到的问题。更何况这还 是面对一个独自静止的最简单的黑洞。想象一下两个黑洞绕在一起的情形，强烈的时空扭曲不断变化，任何初始选取的坐标系统都会迅速和自身纠缠在一起，产生坐 标奇点。必须有办法随着双黑洞系统的演化动态的调整坐标和规范的选择。

四，艰难的满足约束。

在此我再以电磁场方程作类比。游MM列出了麦克斯韦方程组（Maxwell’s equations）的微分形式。盯着方程仔细看，第一个和第三个是一类，没有对时间的微分。也就是说，它们描述了电磁场在任何时刻都必须满足的约束，但 不描述电磁场如何随时间演化。另两个方程自然就是演化方程了。如果一组初始条件满足了约束方程并依照演化方程演化，则麦克斯韦方程组保证它们在演化过程中 的任何时刻都依然满足约束方程（坚持读到这的同学可以自行验证）。这其实也是废话。如果满足某个理论约束的系统依照这个理论的要求演化，演化着演化着就不 再满足这个理论自己要求的约束了，这个理论就只有悲剧了，它逻辑上不自洽。

一样地道理，不过更复杂些，爱因斯坦场方程也有自洽的约束部分和演化部分。不同的是数值误差在麦克斯韦电磁场方程和爱因斯坦引力场方程中的行为。由于舍入 误差不可避免，约束在数值演化中不可能严格满足。违反约束的部分起初是与数值精度大小相仿的微小误差。在线性的麦克斯韦电磁场方程中，它们随时间演化但绝 对大小几乎不变，而且可以被单独分析。在非线性的爱因斯坦引力场方程中，它们随时间以指数增大并以光速甚至超光速在数值模拟区域内四处乱窜，打在边界上还 会到处乱弹，难以被追踪控制。它们爆炸性的增大立即导致计算机的溢出错误，扼杀了刚刚起步的数值模拟。人们试图用各种算法追踪并控制违反约束的部分，但每 每发现加了复杂控制系统的程序通常死的更快。误差导致的疯狂扭曲的时空看来总是比人们狡诈一些。

这实际上是最后被解决的问题，也导致了最终的突破。2005年，上文提到的那位博士后使用了广义和谐规范（generalized harmonic guage，中文听起来很强大）改写他的方程组并取得了成功。广义和谐规范在方程组中引入了一些平时没用的项，因为如果约束被满足，这些项都是零。但当违 反约束的部分出现时，这些项会让它们产生自阻尼效果，以致违反约束的部分越大，它们对自己的抑制就越强。由于抑制是违反约束的部分自己产生的，它永远不会 像人工控制那样被违反约束的部分欺骗。这也再次表明了恰当的规范选择不仅带来便利，更是成败关键。

五，边界条件的选取。

上面说过加边界条件不难，这是指在黑洞位置上被挖去奇点的内边界。由于视界的存在，黑洞内部的边界条件最简单：有出没进，只能从模拟区域流向黑洞中心，不 能从黑洞中流进模拟区域。远处的边界条件就复杂些，既要允许符合物理要求的出入条件，又要保证违反约束的部分只出不进还没有反弹。

我知道的大概就这些。最后说一下，双黑洞系统的演化还相对简单些，因为系统中只有纯时空曲率而无普通意义上的物质。现有的热门问题之一是数值模拟一个中子 星（脉冲星）被黑洞吞噬或被黑洞的强大潮汐力撕碎。这很可能是伽马射线爆发的机制，也是很有希望被发现的引力波源。就数值方法来说，这也很有挑战性：爱因 斯坦场方程和磁流体力学方程这两大难凑在一起了。