[动态规划] SEUOJ103 排列组合

初始有一张n个结点没有边的空图,有m次加边或减边的操作,对于每一次操作完成后,求出选择k(k=1,2,...,n/2)条无公共端点的边的方案数(对于两点间的重边,计为不同的方案).
n<=10 m<=3e5
题目链接: https://oj.seucpc.club/problem/103

解法

首先分析一下加减边的影响.设fk(G)表示在G这张图里选取k条边的方案数.那么有G+(u,v)是图G加上边(u,v),G-u-v是图G去掉点u和点v.此外还有
我们看到无论是加边还是减边,关键一项都是fk(G-u-v).
接下来设计动态规划方法.

设ans[k]为对于当前图,选择k条边的方案数.
则有

状态转移为

上面这些方程通过分类讨论"方案中是否含有边(u,v)"即可得到.
每次加减边操作后,都按照状态转移方程更新一遍dp数组,并同时计算fk(G-u-v),方法为

如此问题便可得到解决.

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