【组合数学入门+例题】

前言

组合数学是数论的一部分,应该算是入门,但是卡常的组合数题目真的是毒瘤

简介

(摘自知乎)

组合数学(Combinatorics)是纯数学的一个分支,主要研究离散、有限或可数的数学结构。
除了纯数学,组合数学在应用数学、理论物理、计算机科学等分支也有着很多应用。在计算机科学中,组合数学又被称作 “离散数学”。
在美国数学会的学科分类中,组合数学下设五个子学科,分别为:计数组合、设计理论、图论、极值组合、代数组合。

基础知识点:组合数

\(n\)个不同元素中,任取\(m(m≤n)\)个元素并成一组,叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合;从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤n)\)个元素的所有组合的个数,叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的组合数。
我们通常用\(C^n_m\)来表示上面这种情况。
基础计算公式:
\(C^n_m=\frac{m!}{n!(m-n)!}\)

例题部分

1.[HNOI2008]越狱
2.SAC#1 - 组合数
3.妖梦拼木棒
(\(luogu\)上都能搜到)

重点讲讲第二个
题目的意思是:
给定一个n,求\(\begin{matrix} \sum_{i=1}^N C(n,i) \end{matrix}\),这里的\(C(n,i)\)表示在n件物品里无序选取i件的组合数,当然,题目限制i必须是偶数。
首先:
\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n\)
这个应该不难理解,可以理解为每件物品都有选或者不选,件数不限,所以可以用\(2^n\)表示总和。
其次:
\(C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+(-1)^nC_n^n=0\)
根据上面那个式子就可以得到这个。最后一项的符号根据n来确定。
所以:
\(C_n^0+C_n^2+C_n^4+...=C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=2^{n-1}\)
第二个式子就告诉我们,正数项和负数项的数值和是相同的,所以总和是0,第一个式子也可以得出这两个相同值的式子的和是2^n,所以它们各自值的绝对值就是\(2^{n-1}\).
所以,题目中所求的,用快速幂就可以很快求出来...
代码:

#include
using namespace std;
long long qpow(long long a,long long b,long long p)
{
    long long x=a;
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans*=x;
        ans%=p;
        (x*=x)%=p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    long long a,b,p;
    cin>>b;
    cout<

另外两道题目讲讲思路吧:
1.越狱这道题一样用推导公式,首先算出所有犯人加在一起的所有状态,减去所有相邻房间的犯人的宗教不相同的情况,即为答案。
3.木棍长度最长才5k,外层枚举有两根的长度的木棍,然后内层循环找另外两根更短的能够组成第三边的,找到了就方案数++.
ov.
摸鱼酱.

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