可持久化数组

日常不想放题目

Luogu P3919 【模板】可持久化数组

\(Solution\):

题目中要求可以查询历史状态，最暴力的想法是开\(a[m][n]\)的二维数组，每次修改暴力复制并修改，每次查询暴力扫描，时间复杂度是\(O(m*n)\)的，但这显然是不行的.

这个时候其实很容易想到线段树，但线段树维护的是当前状态而无法维护历史状态，一种暴力的想法是开\(m\)棵线段树，但这样\(MLE\)的风险可谓巨大。

但我们发现，因为题目修改的是一个点的值，在线段树上，会被修改的点只有\(log_n\)个，因此可以每次只新建这\(log_n\)个结点

举个例子：

一个六个数据的线段树

初始数值： 0 4 0 7 0 3（发现没什么用

建成一棵线段树：

假设我们要修改第二个位置，那么被修改的也就是橙色部分：

所以可以只新建这一部分节点：

于是树就变成了这个亚子（

因为需要不断的新建节点，因此不能按照常规的\(k<<1,k<<1|1\)来记录线段树的儿子，而需要开专门的数组来记录左右儿子的编号；

我们只需要记录每次修改后的根节点\(rt[i]\)，在查询第\(v\)次操作时顺着\(rt[v]\)查找就好

具体实现不是很难（这是我第一次自己按思想自己写出来的数据结构

\(Code\):

#include

using namespace std;

inline int read() {
    int ans=0;
    char last=' ',ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0') last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-') ans=-ans;
    return ans;
}const int mxn=1000010;

int n,m,a[mxn];
int cntn,rt[mxn<<5]; 
struct node {
    int l,r,val;
}t[mxn<<5];

int build(int l,int r) {
    int now=++cntn;
    if(l==r) {
        t[now].val=a[l];
        return now;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    t[now].l=build(l,mid);
    t[now].r=build(mid+1,r);
    return now;
}

int modify(int k,int l,int r,int x,int p) {
    int now=++cntn;
    if(l==r) {
        t[now].val=p;
        return now;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid) 
        t[now].l=modify(t[k].l,l,mid,x,p),t[now].r=t[k].r;
    else 
        t[now].r=modify(t[k].r,mid+1,r,x,p),t[now].l=t[k].l;
    return now;
}

int query(int k,int l,int r,int x) {
    if(l==r) 
        return t[k].val;
    int mid=(l+r)>>1,rtn=0;
    if(x<=mid) 
        rtn=query(t[k].l,l,mid,x);
    else 
        rtn=query(t[k].r,mid+1,r,x);
    return rtn;
}

int main() {
    n=read();
    m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        a[i]=read();
    rt[0]=build(1,n); 
    for(int i=1,v,opt,x,y;i<=m;i++) {
        v=read();
        opt=read();
        if(opt==1) {
            x=read();
            y=read();
            rt[i]=modify(rt[v],1,n,x,y);
        } 
        if(opt==2) {
            x=read();
            printf("%d\n",query(rt[v],1,n,x));
            rt[i]=rt[v];
        }
    }
    return 0;
}