Pow(x, n)【多解法】

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。

示例 1:

输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000

示例 2:

输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100

示例 3:

输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000
解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

说明:

• -100.0 < x < 100.0
• n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2³¹, 2³¹ − 1] 。

方法一：暴力法

思路

只需模拟将 x 相乘 n 次的过程。
如果 n<0，我们可以直接用 ，−n 来替换 x，n 以保证 n≥0。该限制可以简化我们的进一步讨论。

但我们需要注意极端情况，尤其是负整数和正整数的不同范围限制。

算法

我们可以用一个简单的循环来计算结果。

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        long N = n;
        if (N < 0) {
            x = 1 / x;
            N = -N;
        }
        double ans = 1;
        for (long i = 0; i < N; i++)
            ans = ans * x;
        return ans;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。我们将 x 相乘 n 次。

• 空间复杂度：O(1)。我们需要一个变量来存储 x 的最终结果。

方法二：递归快速幂算法

思路

假设我们已经得到了的结果，那么如何才能算出 ？显然，我们不需要再乘上 n 个 x。 使用公式 ，只需要一次计算，我们就可以得到 。这种优化可以降低算法的时间复杂度。

算法

假设我们已经得到了 的结果，现在想要计算 的结果。 设 A 是 的结果，我们可以分别根据 n 的奇偶来讨论 。
如果 n 是偶数，我们可以使用公式 得到
如果 n 是奇数，那么 。
直观地说，我们需要将另一个 x 和结果相乘，所以 。 这种方法可以很容易地用递归实现。 我们称这个方法为“快速幂（Fast Power）”，因为我们最多只需要 次计算就可以得到 。

class Solution {
    private double fastPow(double x, long n) {
        if (n == 0) {
            return 1.0;
        }
        double half = fastPow(x, n / 2);
        if (n % 2 == 0) {
            return half * half;
        } else {
            return half * half * x;
        }
    }
    public double myPow(double x, int n) {
        long N = n;
        if (N < 0) {
            x = 1 / x;
            N = -N;
        }

        return fastPow(x, N);
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：。每次我们应用公式 ，n 就减少一半。 因此，我们最多需要 次计算来得到结果。

• 空间复杂度：。每次计算，我们都需要存储 的结果。 我们需要计算 次，因此空间复杂度为 。

方法三：迭代快速幂算法

思路

使用公式，我们可以将 n 写成一些正整数的和，。如果我们可以快速得到 的结果，那么就可以减少计算 所需的时间。

算法

我们可以利用 n 的二进制表示来更好地理解该问题。设 n 从最低有效位（LSB）到最高有效位（MSB）的二进制表示为 。对于第 i 位，如果 ，那么意味着结果需要乘以 。

看上去这种表示法似乎没有任何改进，因为 。但是使用上面提到的公式，还是可以看到一些差异。最初，对于每个 ，我们可以使用 的结果一步得到 。因为的数目最多为 ，所以我们可以在 的时间内得到所有的。在这之后，对于满足 的所有 i，我们可以用 乘以结果。这也需要 的时间。

递归或迭代的快速幂实际上是实现同一目标的不同方式。关于快速幂算法的更多信息，可以访问它的 wiki¹ 或百度百科²。

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        long N = n;
        if (N < 0) {
            x = 1 / x;
            N = -N;
        }
        double ans = 1;
        double current_product = x;
        for (long i = N; i > 0; i /= 2) {
            if ((i % 2) == 1) {
                ans = ans * current_product;
            }
            current_product = current_product * current_product;
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：。对于 n 的每个二进制位，我们最多只能乘一次。所以总的时间复杂度为 。

• 空间复杂度：。我们只需要两个变量来存储 x 的当前乘积和最终结果。