[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 任意阶导数在零处为零的一个充分条件)

设 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上任意阶可导, 且 $$\bex \forall\ n\in\bbZ^+,\ f\sex{\frac{1}{n}}=0. \eex$$ 试证: $f^{(n)}(0)=0$.

 

提示:  由 Rolle 定理, $$\bex \forall\ k\in\bbZ^+,\quad \exists\ \xi_n\searrow 0,\st f^{(k)}(x_n)=0. \eex$$