一章 函数与极限

函数：设x和是y两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每个数x在D范围内，变量y按照一定反则总有确定的值和他对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)

三要素：

´定义域：使得解析式有意义

´对应关系：两个变量（x和y）以何种规则联系起来

´值域：随着自变量的变化，因变量的“活动”范围

区间：

´开区间（a,b）={x|a

´闭区间:[a,b]={x|a<=x<=b}

´半开区间:(a,b]={x|a

´                 [a,b)={x|a≤x

´               (-∞,a]={x|x≤a]},

´                 [a,+∞)={x|x≥a}]

如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．

函数的特性：

（1） 有界性：设存在正数M,使得一切x 都有 ,则f（x）在

[a,b]上有界.

（2） 奇偶性：在以原点为对称的区间上,若f(-x)=f(x),称为偶函数；f(-x)=－f(x),称为奇函数；否则为非奇非偶函数.

（3） 单调性：函数图像按原点旋转180°重合，就是奇函数，函数图象按y轴折叠重合，就是偶函数，有奇函数、偶函数，也有非奇非偶函数，有公式确定

（4）：函数图像在x轴上加一段距离，能反复出现，就是周期性，不是所有的函数都有周期性，也不是所有的周期函数都有最小正周期，比如f（x）=0

复合函数

设函数y=f(u ）的定义域为Du， 值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种 函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为 因变量（即函数）。

初等函数

 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.

五个基本初等函数

´幂函数：y=x^μ（μ∈R是常数)

´指数函数：´y=a^x(a>0且a≠1)

´对数函数：y=log_a x (a>0且a≠1)

三角函数：y=sinx,y=cosx,y=tanx

反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx

（1）符号函数：

y=sgnx={1 x>0,

                0 x = 0,

                -1 x<0

   （2）取整函数 y=[x]

[x]表示不超过    的最大整数

（3）狄利克雷函数

y = D(x) = {

                    1 当x是有理数时

                       0 当 x 是无理数时

（4）   取最值函数

y=max{f(x),g(x)}

y=min{f(x),g(x)}

分段函数

f(x) = {2x-1,x>0

                x^2-1,x<=0

(5)对数函数

一般地，函数  y =log _a（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

(6)指数函数

(8) 泊松分布(概率函数)

Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

(9) 高斯分布(正态分布)

正态分布（Normal

distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

(9) 高斯分布(正态分布)

(10) sigmoid函数

Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线。在信息科学中，由于其单增以及反函数单增等性质，Sigmoid函数常被用作神经网络的阈值函数，将变量映射到0,1之间。

（11）幂函数

y=x,y= x^2,y= x^3,y= x^4

(12)一元一次函数

y= 3x+7

(13)一元多次函数

y=x^2,y=x^2+5,y=x^+x^3

(14)多元一次函数

y=10+8x1+3x2

y=1+x+y

y=1+x1+x2

(15)多元多次函数

(16)三角函数

正弦函数：y= sinx

余弦函数：y=cosx

正切函数：y=tanx

余切函数：y=cotx

正割函数：y=secx

余割函数：y=cscx

(17)反三角函数

反正弦函数：y=arcsinx

反余弦函数：y=arccosx

反正切函数：y=arctanx

反余切函数：y=arccotx

最大值最小值定理:

定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.

注意:1.若区间是开区间,  定理不一定成立;

         2.若区间内有间断点,  定理不一定成立.

定理2(有界性定理)

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.

定理3(零点定理) 设函数如果x_0使f(x)=0,则x_0称为函数f(x)的零点。

推论  在闭区间上连续的函数必取得介于最大值   与最小值 之间的任何值.

极限

´设函数f(x)在点x_0 的某去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多小），总存在正数δ，[endif]使得当x满足不等式0<|x-x_0|<δ时，对应的函数值都满足不等式

´|f(x)-A|<ε

´那么常数A就叫做函数f(x)当x→x_0 时的极限，记为:limf(x)=A或者f(x)->A

表示x≠x_0，所以是否有极限与f(x)在x_0点是否有定义并无关系。

无穷大和无穷小

´高阶无穷小

´(1)lim┬(x→0)⁡x^2/3x=0

´（在x→0的过程中，x^2→0比x→0快一些）

´(2) lim┬(x→0)⁡〖3x/x^2 〗=∞

´两个重要极限

lim┬(x→0)⁡sin⁡x/x] = 1

lim┬(x→∞)⁡(1+1/x)^x =e