矩阵行列式计算
二阶行列式计算
\[ det \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right ) = ad - bc \]
三阶行列式计算
\[ det \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} \]
形式化表述为：(红线为加数，蓝线为减数)
矩阵的逆的计算
1. 待定系数法
令矩阵 \(A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{matrix}\right)\)，令所要求解的逆矩阵为\(A^{-1} = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right)\)。则有\(A*A^{-1} = I\)，可得到方程组
\[ \begin{matrix} a + 2c = 1 \\ b + 2d = 0 \\ -a - 3c = 0 \\ -b - 3d = 1 \end{matrix} \]
从而解的\(a = 3, b = 2, c = -1, d = -1\)，即
\[ A^{-1} = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & -1 \end{matrix} \right) \]
2. 初等变换求逆矩阵
同样，令矩阵 \(A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{matrix}\right)\)，写出它的增广矩阵 \(A|E\)，即矩阵\(A\)右侧放置一个同阶的单位矩阵，得到一个新矩阵。
\[ A|E = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \]
对其进行初等变换，使原来\(A\)处的矩阵变换成为单位矩阵，则原单位矩阵处就变换成了\(A^{-1}\)，变换后的矩阵为：
\[ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \end{matrix} \right) \]
常用的梯度公式
\[ (1)\ f(x) = C(常数), \nabla f(x) = 0, 即\nabla C = 0 \]
\[ (2)\ f(x) = b^{T}x, \nabla f(x) = b \]
\[ (3)\ f(x) = x^{T}x, \nabla f(x) = 2x \]
\[ (4)\ f(x) = x^{T}Qx (Q^T=Q), \nabla f(x) = 2Qx \]
Taylor展开公式
设\(f:R^n \rightarrow R\)二阶可导，在\(x^*\)的领域内
一阶Taylor展开式为
\[ f(x) = f(x^*)+(\nabla f(x^*))^T(x-x^*) + o(||x-x^*||) \]
二阶Taylor展开式为
\[ f(x) = f(x^*)+(\nabla f(x^*))^T(x-x^*) + \frac{1}{2}(x-x^*)^T\nabla ^2f(x^*)(x-x^*) + o(||x-x^*||) \]
凸集
若集合\(D\)中任意两点的连线段都属于\(D\)，则称\(D\)为凸集。
两点\(x^1, x^2\)连线段上任一点可表示为\(x=ax^1+(1-a)x^2,a\in[0,1]\)
设\(A,B\subseteq R^n\)是凸集，则\(A\bigcap B, A + B, A - B\)也是凸集。其中\(A + B := {a+b:a\in A, b\in B}\), \(A-B:={a-b:a\in A, b \in B}\)，注意\(A \bigcup B\)不一定是凸集。
\(D\)是凸集\(\Longleftrightarrow D\)中任意有限多个点的凸组合也属于\(D\)。
凸函数
定义：设集合\(D \subseteq R^n\)为凸集，函数\(f:D \rightarrow R\)，若\(\forall x^1,x^2 \in D, \alpha \in (0,1)\)，均有：
\[ f(\alpha x^1 + (1 - \alpha)x^2) \leq \alpha f(x^1) + (1-\alpha)f(x^2) \]
则称\(f\)为凸集\(D\)上的凸函数。
假设\(f(x),g(x)\)均为凸函数，证明\(max\lbrace f(x), g(x)\rbrace\)也是凸函数。
证明：
\(f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2), g(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tg(x_1) + (1-t)g(x_2)\)
\(max \lbrace f(tx_1+(1-t)x_2), g(tx_1, (1-t)x_2) \rbrace \leq max\lbrace tf(x_1) + (1-t)f(x_2), tg(x_1) + (1-t)g(x_2) \rbrace \leq t max\lbrace f(x_1), g(x_1) \rbrace + (1-t) max\lbrace f(x_2), g(x_2) \rbrace\)
凸函数判定定理
设\(D \subseteq R^n\)为非空开凸集，函数\(f:D\rightarrow R\)在\(D\)上二次可微，则
(i) \(f\)在\(D\)上为凸函数 \(\Longleftrightarrow \forall x\in D, \nabla^2f(x)\)半正定
(ii) 若\(\forall x \in D, \nabla^2 f(x)\)正定，则\(f\)在\(D\)上为严格凸函数
对于凸规划
$
min f(x)
$
$
s.t. g_i(x) \leq 0, i=1,2,L,m
$
若 \(\overline{x} \in D, f \in C^1\)，则\(\overline{x}\)为上式的最优解的充要条件为\(\forall x \in D\)，有
\[ (x-\overline{x})^T \nabla f(\overline{x}) \ge 0 \]
精确一维搜索
成功失败法
步骤1：选取初始点\(x\in R\),初始步长\(h \gt 0\)及精度\(\epsilon \gt 0\)，\(\varphi_1 = f(x)\)
步骤2：计算 \(\varphi_2 = f(x+h)\)
步骤3：若\(\varphi_2 < \varphi_1\)，搜索成功, 转步骤4；否则，搜索失败，转步骤5。
步骤4：令\(x:= x + h\), \(\varphi_1 := \varphi_2, h := 2h\),转步骤2。
步骤5：判断\(|h| < \epsilon\)？,若\(|h| < \epsilon\)停止迭代，\(x^*=x\)；否则令\(h = \frac{-h}{4}\)转步骤2。
0.618法
使用四个点来依次缩短区间，当区间长度充分小时，可将区间中点取做极小点的近似点。所选取的四个点分别为\(a,b,x_1,x_2\)，其中，\(a,b\)分别为区间的下界和上界。\(x_1,x_2\)的计算符合0.618准则，如下：
\[ \begin{matrix} x_1 = a+0.382(b–a) \\ x_2 = a+0.618(b–a) \end{matrix} \]
二分法
因为我们假定函数在所给区间为凸函数，因此区间范围内必存在一点使得其导数为0，该点即为极小点。所以可以每次计算区间中点的导数值，以此来缩小区间，当区间足够小时，使区间的中点为局部极小点。
步骤1：计算 \(x_0 = \frac{a+b}{2}\)
步骤2：若\(f^{'}(x_0) \lt 0\)，令\(a = x_0\)，转步骤3；
若\(f^{'}(x_0) \gt 0\)，令\(b = x_0\)，转步骤3；
若\(f^{'}(x_0) = 0\)，停止，\(x^* = x_0\)；
步骤3：若\(|b-a| \lt \epsilon\)，则\(x^* = \frac{a+b}{2}\)，停止，否则，转步骤1.
牛顿法
步骤1：给定初始点\(x_1,\epsilon \gt 0\)，令\(k=1\)
步骤2：计算\(x_{k+1} = x_{k} - \frac{f^{'}(x_k)}{f^{''}(x_k)}\)
步骤3：若\(|f^{'}(x_{k+1})| \lt \epsilon\)，停止，\(x^* \approx x_{k+1}\)
拟Newton法
需要构造\(H_k\)，\(H_k\)需要满足的几个原则有：
拟牛顿性质
$\Delta x_k = H_{k+1}\nabla g_k \(，其中\)H_{k+1}$不唯一，该式表现了拟牛顿性质，称为条件或者方程。
二次收敛性
\(f(x)=\frac{1}{2}x^TAx+b^Tx+c, A对称正定\)
把算法用于\(n\)元正定二次函数时，至多\(n\)次达到极小点。稳定性
在算法的迭代点\(x^k\)处可选择步长，使得下个迭代点\(x^{k+1}处的函数值下降，则称此算法是稳定的。\)
插值法
使用成功失败法寻找“高，低，高”三点，分别作为区间和区间内的一点，然后通过这三个点构造二（三、四）次方程，得到该方法的极值点作为第四个点，然后通过这四个点的函数值来进一步缩短区间。
步骤1：(用成功失败法) 寻找“高-低-高”三点：即三点满足
\[ x_1 \lt x_2 \lt x_3,\ f(x_1) \gt f(x_2) \lt f(x_3) \]
步骤2：确定二次插值多项式\(P(x) =a_0+a_1 x + a_2 x^2\)，求出\(P\)的极小点\(\overline{x}\)(因\(P(x_1) \gt P(x_2) \lt P(x_3)\))，故\(a_2 \gt 0\)，\(\overline{x} \in [x_1, x_3]\)
步骤3：若\(|x_2 - \overline{x}| \lt \epsilon\)，则迭代结束，取\(x^* = \overline{x}\)，否则在点\(x_1,x_2,x_3,\overline{x}\)中，选取使\(f\)最小的点作为新的\(x_2\)，并使新的\(x_1,x_3\)各是新的\(x_2\)近旁的左右两点，转步骤2，继续迭代，直到满足终止条件。
最速下降法
步骤1：选定初始点\(x,\epsilon \gt 0\)，并令\(k=1\)。
步骤2：若\(||\nabla f(x^k)|| \leq \epsilon\)，得到近似驻点\(x^k\)，否则转步骤3
步骤3：令\(d^k = - \nabla f(x^k)\)
步骤4：由精确一维搜索确定最佳步长\(\lambda_k=arg\ min\ f(x^k+\lambda d^k)\)。令\(x^{k+1}=x^k+\lambda _kd^k, k:=k+1\)，转步骤2
Newton法
求函数\(f\)的极小点，给定误差极限\(\epsilon\).
步骤1：选定初始点\(x^1\)，计算\(f_1 = f(x^1),k=1\)
步骤2：如果\(||\nabla f(x^k)|| \leq \epsilon\)，停止，得到近似驻点\(x^k\)，否则转步骤3
步骤3：计算搜索方向\(d^k = -(\nabla ^2f(x^k))^{-1}\nabla f(x^k)\)
步骤4：令\(x^{k+1} = x^k+d^k, k=k+1\)，转步骤2
阻尼Newton法
将Newton法中的迭代公式进行替换，加入精确一维搜索\(min f(x^k + \lambda d^k)\)，求得最佳步长\(\lambda_k\)，得到下一个迭代点\(x^{k+1} = x^k+\lambda_k d^k\)
利用阻尼Newton法求n元正定二次函数的极小点，从任意初始点出发，一步迭代即可达到极小点。
FR共轭梯度法
步骤1：选定初始点\(x^1\)
步骤2：如果\(||g_1|| \leq \epsilon\)，停止，得到近似驻点\(x^1\)，否则转步骤3
步骤3：取\(p^1=-g_1,k=1\)
步骤4：精确一维搜索找最佳步长\(\lambda_k\)，令\(x^{k+1} = x^k + \lambda_kp^k\)
步骤5：如果\(||g_{k+1}|| \leq \epsilon\)，停止，得到近似驻点\(x^{k+1}\)，否则转步骤6
步骤6：如果\(k=n\)，令\(x^1=x^{k+1},p^1=-g_{k+1},k=1\)，转步骤4；否则转步骤7
步骤7：计算\(a_k=\frac{||g_{k+1}||^2}{||g_k||^2},p^{k+1}=-g_{k+1}+a_kp^k,k=k+1\)，转步骤4
变尺度法--DFP算法
步骤1：选定初始点\(x^1\)，初始矩阵\(H_1=I_n\),\(\epsilon \gt 0\)
步骤2：如果\(||g_1|| \leq \epsilon\)，停止，得到近似驻点\(x^1\)，否则转步骤3
步骤3：取\(p ^1=-H_1g_1,k=1\)
步骤4：精确一维搜索找最佳步长\(\lambda _k\)，令\(x^{k+1} = x^k + \lambda_k p^k\)
步骤5：如果\(||g_{k+1}|| \leq \epsilon\)，停止，得到近似驻点\(x^{k+1}\)，否则转步骤6
步骤6：如果\(k=n\)，令\(x^1=x^{k+1},p^1=-g_{k+1},k=1\)，转步骤4，否则转步骤7
步骤7：令\(\Delta x_k = x^{k+1} - x^k, \Delta g_k = g_{k+1} - g_k, r_k=H_k \Delta g_k\)，计算：
\[ H_{k+1} = H_k + \frac{\Delta x_k (\Delta x_k)^T}{(\Delta x_k)^T \Delta g_k} - \frac{r_k (r_k)^T}{(\Delta g_k)^T H_k \Delta g_k} \]
和\(p^{k+1}=-H_{k+1}g_{k+1}\)，令\(k = k+1\)，转步骤4
两阶段法首先需要向原变量等式中引入人工变量，且人工变量均大于等于0，然后使用单纯形方法求解使得人工变量之和最小的条件，之后将修改单纯形表，将人工变量删去，继续使用单纯形方法得到目标函数的最优解。值得注意的是，在选择进基变量时，选择检验数，即\(\sigma_j\)大于0，且最大的一个。选择离基变量时，选择\(\theta\)大于0且最小的一个。当值相等时，离基变量选择下标最大的，进基变量选择下表最小的。
大\(M\)法
在约束中引入人工变量\(x_a\)，同时修改目标函数，在原目标中加上惩罚项\(Me^Tx_a\)，其中\(M\)为充分大的正数。
对偶规划
对偶单纯形法
对偶单纯形法的基本思想: 从(P)的一个对偶可行的基本解出发，在保证对偶可行的条件下，逐步使原问题基本解的不可
行性消失（即x非负），直到获得原问题的一个基本可行解为止，而这个基本可行解就是原问题的最优解.
对偶单纯形方法与原单纯形方法主要的区别就是，先计算\(\overline{b}\)，找出其中小于0，且最小的一个作为离基变量，然后用\(\sigma_j\)除以对应的行，得到参考值，选择参考值中大于0，且最小的一个作为进基变量。目标是使\(\overline{b}\)值均大于等于0.
K-T点计算，一阶最优性条件
\[ \begin{matrix} \nabla f(\overline{x}) - \sum_{i \in I(\overline{x})}w_i\nabla g_i(\overline{x}) - \sum_{j=1}^{l} v_j \nabla h_j(\overline{x}) = 0 \\ w_i \geq 0,i \in I(\overline{x}) \end{matrix} \]
\[ \begin{matrix} \nabla f(\overline{x}) - \sum_{i=1}^{m}w_i\nabla g_i(\overline{x})-\sum_{j=1}^l v_j \nabla h_j(\overline{x}) = 0 \\ w_i \geq 0, i=1,...,m \\ w_i g_i(\overline{x}) = 0,i=1,...,m \end{matrix} \]
满足以上两个条件中的任意一个即为K-T点。若要求K-T点，用下式，若要验证，用上式。其中，\(g_i\)为大于约束，\(h_i\)为等式约束。
外点罚函数法
构造罚函数：\(min F(x,M_k)=f(x)+M_k p(x)\)。
其中\(M_k\)逐渐趋于无穷
优化函数为
\[ \begin{matrix} min\ f(x) \\ s.t.\ g_i(x) \geq 0, i=1,...,m \\ h_j(x) = 0,j=1,...,m \end{matrix} \]
则\(p(x) = \sum_{i=1}^{m}(min\lbrace g_i(x),0 \rbrace )^2+\sum_{j=1}^l h_j^2(x)\)，可用\(x\)来表示\(M\)，然后让\(M\)趋于无穷，以此求得\(x\)。
外点罚函数法性质
- \(F(x^{k+1}, M_{k+1}) \geq F(x^k, M_k)\)
- \(p(x^{k+1}) \leq p(x^k)\)
- \(f(x^{k+1}) \geq f(x^k)\)
外点罚函数法不等式证明
\(F(x^{k+1}, M_{k+1}) \geq F(x^k, M_k)\)
对于由外点法产生的点列\(\lbrace x^k \rbrace\)，\(k \geq 1\)，总有：
$
F(x^{k+1}, M_{k+1}) = f(x^{k+1}) + M_{k+1}p(x^{k+1}) \geq f(x^{k+1}) + M_kp(x^{k+1})
$
=$
F(x^{k+1}, M_k)
$
$
\geq F(x^k,M_k)
$\(p(x^{k+1}) \leq p(x^k)\)
$
f(x^{k+1}) + M_kp(x^{k+1}) = F(x^{k+1}, M_k) \geq F(x^k, M_k) = f(x^k)+M_kp(x^k)
$
$
f(x^{k+1}) - f(x^k) \geq M_k[p(x^k)-p(x^{k+1})]
$
$
f(x^k)+M_{k+1}p(x^k)=F(x^k, M_{k+1})\geq F(x^{k+1}, M_{k+1})=f(x^{k+1})+M_{k+1}p(x^{k+1})
$
$
f(x^k)-f(x^{k+1}) \geq M_{k+1}[p(x^{k+1})-p(x^k)]
$
$
0 \geq (M_{k+1}-M_k)[p(x^{k+1})-p(x^k)] 已知M_{k+1}\geq M_k
$
$
p(x^{k+1}) \leq p(x^k)
$\(f(x^{k+1}) \geq f(x^k)\)
\(f(x^{k+1}) + M_kp(x^{k+1})=F(x^{k+1},M_k)\geq F(x^k,M_k)=f(x^k)+M_kp(x^k)\)
\(已知p(x^{k+1})\leq p(x^k)\)
\(f(x^{k+1})\geq f(x^k)\)
内点罚函数法
构造罚函数：\(F(x,r)=f(x)+rB(x)\),只可用于不等书约束的条件，要求大于等于0
\[ \begin{matrix} B(x) = \sum_{i=1}^m \frac{1}{g_i(x)} \\ B(x) = -\sum_{i=1}^m ln(g_i(x)) \end{matrix} \]
内点罚函数法性质
- \(F(x^{k+1}, r_{k+1}) \leq F(x^k, r_k)\)
- \(B(x^{k+1}) \geq B(x^k)\)
- \(f(x^{k+1}) \leq f(x^k)\)
约坦狄克可行方向法
步骤1：给定初始可行点\(x^0\)，令\(k=0\)
步骤2：在点\(x^k\)处将\(A\)和\(b\)分解成
\[ A=\left( \begin{matrix} A_1 \\ A_2 \end{matrix} \right) \]
\[ b=\left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \end{matrix} \right) \]
使得\(A_1x^k=b, A_2x^k\gt b_2\)，计算\(\nabla f(x^k)\)。
步骤3：求解线性规划$
\begin{matrix}
min(\nabla f(x^k))^Td \
s.t. A_1d \geq 0 \
Cd = 0\
|d_j| \leq 1, \forall j
\end{matrix}
\(得到最优解\)d^k$
步骤4：若\((\nabla f(x^k))^Td^k = 0\)，则算法结束，\(x^k\)是K-T点，否则转步骤5
步骤5：利用(*)式计算\(\lambda_{max}\)，求解一维搜索问题
\[ \begin{matrix} min\ f(x^k+\lambda d^k) \\ s.t.\ 0\leq \lambda \leq \lambda_{max} \end{matrix} \]
得到极小点\(\lambda _k\)，令\(x^{k+1}=x^k+\lambda _kd^k,k=k+1\)，转步骤2.
$
\lambda _{max}=\left \lbrace
\begin{matrix}
min\lbrace \frac{\overline{b_i}}{\overline{d_i}}| \overline{d_i} \lt 0\rbrace if \exist\overline{d_i} \lt 0 \
+\infty if \overline{d} \geq 0
\end{matrix}
\right.
$ (*)
$
\overline d = A_2d^k , \overline b = b_2 - A_2x^k
$
注：单纯形法，\(\sigma_j\)选择大于0且值最大的进基，\(\theta\)选择大于0且值s最小的进基。
对偶单纯形，先找离基再找进基。\(\overline{b}\)选择小于0且最小的一个离基，\(\sigma\)除以对应的行，所得大于0且最小的进基。