指数级增长

什么是指数级增长？设想细菌菌落的增长过程。

从一个细菌开始，这个细菌每分钟都会分裂为2个细菌。1分钟之后，我们就会拥有2个细菌，而它们中的每一个在1分钟后又会分裂为2个，于是我们会得到4个细菌。又过了一分钟，我们得到8个细菌，然后是16个。以此类推，每过一分钟，数量都会翻番。假设，我们从早上8点启动这一增长过程，并确保有足够的营养品能使容器在中午12点之前充满细菌，那么问题来了，容器会在8点至12点的哪个时间被充满一半？

那些得出错误答案的人通常会给出10:30或11:15这样的中间答案。而令人惊讶的是，正确答案是11:59，就是中午12点之前1分钟。我确定你能明白：由于细菌数量每分钟都会翻番，所以在整个过程于12点结束之前1分钟，即11:59，容器内的细菌数量肯定是最终数量的一半。，

再反过来，推演这个实验，在中午12点之前1分钟，容器是一半满的：之前2分钟，容器是1/4满（1/2*1/2）；之前3分钟，是1/8满。由此类推，在中午12点之前5分钟，即11:55，容器只有1/32，只填满了3%，几乎看不到细菌。按照这个方式计算，，在11:50，容器只填满了0.1%，看起来空空如也，尽管菌落一直在以指数级速度增长，只是在最后几分钟，容器内才出现了肉眼可见的变化。

指数级增长的过程是渐缓的，不易觉察的，后果是可怕的。

正如我们都听说过那个熟悉的故事：国际象棋的发明者向国王提出自己想要的奖赏，仅仅是在棋盘上的每一个格子内放上按要求计算的米粒，第一个格内放1粒米，第二格内放2粒米，第三个格内放8粒米，每一格内放的米粒都是前一个格内的米粒的两倍。棋盘右下角第64个格内的米粒数量应该是63个2相乘，接近10的19次方，数字相当惊人。这些米粒堆积起来，甚至会比珠穆朗玛峰还高。即使穷尽整个王国的财富也无法满足发明者要求的奖赏。

故事很熟悉，道理都明了。我们也正生活在一个以指数级速度不断扩张的宇宙中，比如人口的增长，与之匹配的是经济的增长。

当然这些话题你可能不太感兴趣。在我们的现实生活中，如何发挥这种增长的作用呢？比如好习惯的养成，一点一滴，每天进步一点点儿，还有你个人的理财，刚刚步入职场，收入不多，每月累积一点点，积少成多，聚沙成塔，坚持下去，结果是惊人的。

要想看到结果，难的是坚持，怕的是半途而废。

行百里者半九十。