1. 离散时间傅里叶变换
1.1 离散LIT系统
前面三篇专注于讨论连续信号，建立了比较完备的连续LIT系统的理论。在工业应用、尤其是计算机科学中，数据、信号都是数字化的，信号在时间上甚至数值上都是离散的。离散时间的信号（简称离散信号），可能原本就是离散的（比如统计数据），也有可能是连续信号的采样值。在历史上，离散信号与连续信号的理论是并行发展的，成熟之后才汇总到了一起。总而言之，离散信号更便于存储和处理，有着更广泛的使用领域。
本篇并行于前面的连续信号理论，集中阐述离散信号的对应结论。那些浅显无差异的概念或结论，这里会忽略或一带而过，而把更多的笔墨放在有本质差异的部分。一个离散信号\(x[n]\)是指离散时间序列\(\{x[i], i\in\Bbb{Z}\}\)，虽然也可以用数轴表示\(x[n]\)，但一般我们并不关心非整数点的函数值。周期信号的周期\(N\)也是整数，后面将会看到，这是造成与连续系统差异的根本原因。离散LIT系统的定义完全类似连续LTI系统，以及因果性、无记忆性、稳定性等都可以照搬过来。
解析离散LIT时，同样可以先把信号做线性拆解（式（1）），其中\(\delta[n]\)仅在\(n=0\)时有非零值\(1\)，它被称为单位脉冲函数。然后假定\(\delta[n]\)的系统响应为\(h[n]\)，它称为单位脉冲响应，相比单位冲激响应，\(h[n]\)的值是真正的响应值。最后用累加的方法，便知道信号的系统输出为式（2）。整个过程只有离散值的累加，不再有奇异函数和积分，理解起来自然顺畅。甚至微分、积分的概念也变成了简单的差分、求和，比如\(\delta[n]\)的求和函数\(u[n]\)如图，它被叫做单位阶跃函数，反过来\(\delta[n]\)是\(u[n]\)的一次差分函数。
\[x[n]=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[k]\delta[n-k]\tag{1}\]
\[x[n]\to y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[k]h[n-k]\tag{2}\]
式（2）同时还定义了离散信号的卷积和，它同样具有交换律、结合律、分配率，且证明更加直白。卷积和的性质，同样也为系统的串联、级联提供了方便的工具。另外显然，因果系统满足式（3）左，有限持续的因果系统也叫有限脉冲响应（FIR），否则叫无限脉冲响应（IIR）。稳定系统的充要条件是绝对可和（式（3）右），信号趋于0的速度关系到系统的响应速度。
\[y[n]=\sum_{k=0}^{\infty}h[k]x[n-k];\;\;\sum_{k\in\Bbb{Z}}|h[k]|<\infty\tag{3}\]
1.2 傅里叶变换
离散周期信号\(x[n]\)可以看成是连续周期信号\(x(t)\)的采样，甚至可以基于\(x(t)\)的FS讨论\(x[n]\)的FS，但讨论中无法摆脱\(x(t)\)本身，难以生成有用的结论。故这里的周期离散信号\(x[n]\)要求序列自身的周期性，即周期为整数\(N\)，并以此重新建立分解、变换的理论。先定义周期为\(N\)的信号的基波频率\(\omega_0=2\pi/N\)，当然它本质上还是角速度。然后考察所有基波\(\{E_k[n]=e^{jk\omega_0n}\}\)，显然有\(E_{k+mN}[n]=E_k[n]\)，故实质上只有\(N\)个不同的基波，以后\(k\)的取值仅限于\(\langle N\rangle=\{0,1,\dots,N-1\}\)。
为了进一步讨论LIT的性质，这里同样要定义特征函数和特征值，式（4）表明离散指数函数\(z^n\)就是特征函数。后面将会看到，离散系统的系统函数以\(z=e^s\)为主要参数，而不同于连续系统中以\(s\)为主要参数，故直接将式子写成关于\(z\)的函数。当然在傅里叶变换中，为了突出频谱系数，暂时还是写成\(e^{j\omega n}\)。离散时间傅里叶级数（DTFS）就是把周期为\(N\)的信号分解为特征函数系\(\{e^{jk\omega_0n}\}\)的线性和（式（5）左），然后利用特征函数在周期内的“正交性”（乘积和为0），求得具体的频谱系数\(a_k\)（式（5）右）。离散信号的值都是有限的，不存在也不需要定义奇异函数，也不存在不连续点和无穷抖动。所以离散信号的DTFS总是存在的，且逆变换不存在误差，这使得理论简单而广泛有效。
\[z^n\to H(z)z^n;\;\;H(z)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}h[k]z^{-k}\tag{4}\]
\[x[n]=\sum_{k\in\langle N\rangle}a_ke^{jk\omega_0n};\;\;a_k=\dfrac{1}{N}\sum_{n\in\langle N\rangle}x[n]e^{-jk\omega_0n}\tag{5}\]
类似于FT推导，对一般离散信号\(x[n]\)，将其长为\(N\)的截断扩展为周期信号\(\tilde{x}[n]\)，并观察它的FS。当\(N\to\infty\)时，\(\{k\omega_0\}\)变成连续变量\(\omega\)，取值范围\([0,2\pi]\)；\(\dfrac{1}{N}\)变成微分\(\dfrac{1}{2\pi}\,\text{d}\omega\)。最终便有了离散信号的离散时间傅里叶变换（DTFT，式（6）），其中频谱系数\(X(e^{j\omega})\)可视为周期为\(2\pi\)的函数，单位脉冲响应的频谱系数也叫系统函数。
\[x[n]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\,\text{d}\omega;\;\;X(e^{j\omega})=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[n]e^{-j\omega n}\tag{6}\]
扩展到无穷领域，自然就要考虑其收敛性，不难得出“可绝对求和”是FT收敛的一个充分条件。当然，FT收敛和分解式存在还是两个概念，比如离散周期信号的FS就可以修改成FT的形式。FS系数\(a_k\)转化成FT中的“密度”应该是\(a_k\delta(0)\)，也就是说在基波频率\(k\omega_0\)上的频谱应当是\(2\pi a_k\delta(0)\)，综合便有离散周期信号的FT（式（7））。
\[x[n]\;\overset{FS}{\leftrightarrow}\;a_k\;\;\Rightarrow\;\;x[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\sum_{k\in\langle N\rangle}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\tag{7}\]
1.3 z变换
接下来就是把离散时间的傅里叶变换扩展成拉普拉斯变换，即要将基波扩展到一般的指数函数\(z^n\)，以下记\(z=re^{j\omega}\)。对于给定的\(r\)，将\(r^n\)乘到式（6）左，便得到\(x[n]r^n\)在\(\{(re^{j\omega})^n\}\)下的分解。整理后不难得到扩展后的变换式（8），它被称为z变换，式（9）是它和FT的关系。
\[x[n]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(z)z^n\,\text{d}\omega,\;X(z)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[n]z^{-n}\tag{8}\]
\[x[n]\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(re^{j\omega})\;\;\Rightarrow\;\;x[n]r^{-n}\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(e^{j\omega})\tag{9}\]
z变换还是在复平面内讨论收敛域ROC，所谓收敛指在固定的\(r\)下所有\(X(re^{j\omega})\)都收敛，所以收敛域是以原点为圆心的同心圆组成的，或者可以简单地表示为\(r\)的取值范围。和拉普拉斯变换的差异是由变量的选取（\(z=e^s\)）、以及\(\omega\)的范围导致的，其实并无本质不同，完全可以把LT的特性平移过来。z变换的单位圆对应LT的虚轴，圆内（去除原点）、圆外的同心圆分别对应原点左边、右边的虚轴平行线。
以\(r\in(0,+\infty)\)或去原点的复平面为整个定义域，可知有限持续信号的ROC在整个定义域上；右边信号的ROC是某个同心圆以外的区域；左边信号的ROC是某个同心圆以内（不含原点）的区域；一般双边信号的ROC则是某个环状区域。当然以上单位圆和环的边界都可能是\(0\)或\(\infty\)，边界本身也可能在ROC内。最后，脉冲响应的z变换还被称为系统函数，因果系统（右边信号）的ROC是某个同心圆外部，稳定系统的ROC一定包含单位圆。
2. 系统函数的性质
2.1 z变换的性质
z变换和拉普拉斯变换格式相近，大部分性质也都很雷同，这里简单罗列这些平行的性质。关于性质的ROC可自行讨论，我想强调的是，即便不在ROC内，这些性质在那些收敛的\(z\)上仍然是成立的。另外不难发现，离散信号的傅里叶变换和连续周期信号的傅里叶级数，具有很好的对偶性，据此可以简化很多性质的证明。
式（10~12）分别是线性、时移、z域平移、共轭的性质，其中实信号满足式（12）右。对离散信号缩放的讨论稍微困难一点，这里仅讨论整倍延展和时序翻转两种情况。把信号拉伸\(m\)倍并设新增点（非\(m\)的整数倍）的值为\(0\)，记新信号为\(x_m[n]\)，带入\(X(z)\)的公式便有式（13）左成立。它表明频域横向压缩了\(m\)倍，原本的基波（时域）被拉升后，还有新的基波填入，已不同于原来的分解。时序逆转不仅带来频域的正负翻转，也会带来z域的单位圆内外翻转。
\[ax[n]+by[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;aX(z)+bY(z)\tag{10}\]
\[x[n-n_0]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\; z^{-n_0}X(z);\;z_0^nx[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(\dfrac{z}{z_0})\tag{11}\]
\[x^*[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X^*(z^*);\;\;X(z)=X^*(z^*)\tag{12}\]
\[x_m[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(z^m);\;\;x[-n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(z^{-1})\tag{13}\]
信号的差分性质直接根据时移和线性便得到（式（14）），信号的累加则是差分的逆运算，固有式（15）。对式（6）右两边求微分，便有\(z\)域的微分性质（式（16））。直接观察\(X(z)\)的单项\(x[n]z^{-n}\)，对任何\(n>0\)，当\(z\to\infty\)时总有项的极限为0（且是一致的）。所以对初始松弛的信号有式（17）的初值定理，但它和LT中的初值定理并无原理的相通性，也没有类似的终值定理。最后就是那个不意外的结果，把式（18）左的卷积和看成信号\(x_1[n]\)在单位脉冲为\(x_2[n]\)的系统下的输出，根据特征函数的性质应当有式（18）右成立。
\[x[n]-x[n-1]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;(1-z^{-1})X(z)\tag{14}\]
\[\sum_{k=-\infty}^nx[k]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-z^{-1}}X(z)\tag{15}\]
\[nx[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;-z\dfrac{\text{d}X(z)}{\text{z}}\tag{16}\]
\[x[k]=0,\;k<0\;\;\Rightarrow\;\;x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z)\tag{17}\]
\[x_1[n]*x_2[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X_1(z)X_2(z)\tag{18}\]
2.2 傅里叶变换的性质
做为z变换的特殊情况，傅里叶变换也有一些特有的性质。比如实偶信号满足\(X(e^{-j\omega})=X^*(e^{-j\omega})\)，既有它的频谱系数为实数；同样还有实奇信号的频谱系数为纯虚数。再比如积分性质中\(z=1\)时，需单独讨论密度系数\(\pi X(1)\delta(0)\)（类似连续情况）。以及利用离散信号FT与连续周期信号FS的对偶性，很快能得到式（19）的能量谱公式（帕斯瓦尔定理），以及式（20）的乘法公式，注意右边为周期卷积。
\[\sum_{n\in\Bbb{Z}}|x[n]|^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2\,\text{d}\omega\tag{19}\]
\[x_1[n]x_2[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{2\pi}X_1(j\omega)*X_2(j\omega)\tag{20}\]
离散时间周期傅里叶级数是FT的原型，几乎所有的性质都可以平移过来，只需要把\(X(e^{j\omega})\)换成\(a_k\)、\(2\pi\)换成\(N\)即可。典型的有周期卷积和与乘积的对偶式（21），以及式（22）帕斯瓦尔定理。
\[x[n]*y[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;Na_kb_k;\;\;x[n]y[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;a[n]*b[k]\tag{21}\]
\[\sum_{n\in\langle N\rangle}|x[n]|^2=N\sum_{k\in\langle N\rangle}|a_k|^2\tag{22}\]
2.3 常用系统函数
先来看单位脉冲的z变换式（23）左，它仍然是所有基波的无相移叠加，单位脉冲的时移即是\(z\)的多项式或简单分式（式（23）右）。\(\delta[n]\)是\(u[n]\)的一阶差分，从而有式（24）左成立，下移\(1\)后仍然有式（24）右成立，只是ROC相反了。式（24）的格式有点不同于LT，我们不要“简化”它，而是继续遵循其自身的格式特点，以后把系统函数看成\(z^{-1}\)的分式。
\[\delta[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;1;\;\;\delta[n-k]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;z^{-k}\tag{23}\]
\[u[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-z^{-1}},\;(r>1);\;\;-u[-n-1]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-z^{-1}},\;(r<1)\tag{24}\]
接下来把z域的平移性质用在式（24）上，可有带参数的一次式（25）左。利用求和性质或\(z\)域微分（式（25）右），可得到更高阶的一次式，它们也都有ROC为反向的表达式。式（25）左的\(a\)也可以为复数，对实数域内不能分解的二次项，利用复根便可有式（26~27）。至此，任何\(z\)的实数域分式都可以分解为不同一次项和二次项之和，它代表的系统也就拆分成了多个简单系统之和。当然，分式分解比LT要麻烦一点，高阶分式处理起来也不容易。
\[a^nu[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-az^{-1}};\;\;nx[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{z^{-1}}{1-z^{-1}}\tag{25}\]
\[\cos\omega n\cdot u[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1-\cos\omega\cdot z^{-1}}{1-2\cos\omega\cdot z^{-1}+z^{-2}}\tag{26}\]
\[\sin\omega n\cdot u[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{\sin\omega\cdot z^{-1}}{1-2\cos\omega\cdot z^{-1}+z^{-2}}\tag{27}\]