【题解】CF739D Recover a functional graph(构造+二分图匹配)

【题解】CF739D Recover a functional graph(构造+二分图匹配)

题目大意

一个图被称为F图当且仅当每个点出度为1。可以发现这个图是一个内向基环森林，给出所有点到它能到达的环(只会有一个)的距离dis和那个环的长度len，然而有些点的信息模糊了，用？代替，可以是任何数。现在你要输出一个合法的构造方案。

可以提炼出一个图是F图的条件:

• 对应环的距离数组是自然数数列
• \(len=k\)的点的个数是\(tk,t\in N^+\)

由于第二个条件只能用问号补，没有决策需要做，直接补上(也要用二分图匹配实现)。考虑如何满足第一个条件，可以每种长度的环选一个出来作为代表环其他可以丢掉，这样就没有选环的决策了，这样仍然可以构造合法解出来(若有多个dis=p，都连向dis=p-1的点就好了)。满足第一个条件关键在于dis最大的那个点，我们不去将\(dis=?\)的点变得比已有对应\(dis\)更大，因为这样肯定不优。

然而还有一个问题，\(len=?,dis=...\)的最大的dis，它去哪个地方匹配我们是不确定的，这个枚举一下就好了(只需要枚举一个，多个最大dis的当做多余的连到dis-1就行了)。

现在我们只有\((len=?,dis=...)\)和\((len=...,dis=?)\)的需要搞了，这部分可以二分图匹配做。

现在问题是自然数数列可能中间有些地方根本就没得，但我们只需要一个点就行了，就建立一排点进行匹配，匹配完成后看这一排点是否满流就行了。