9.勒让德第二定理

若[某一个]三角形的三个内角和等于两个直角，则[每一个]三角形的三个内角和等于两个直角。

这个定理神奇的地方是，可以“以偏概全”。只要看到一只黑色的乌鸦，就可以断言“天下乌鸦一般黑”。

哪怕假如用“勾三股四弦五”找到一个很特殊的直角三角形，并且证明了它的三个内角和为两直角，那么就可以断言，所有的三角形内角和是两个直角。

这个定理同样不依赖平行公设。证明时，使用萨谢利四边形的性质。

萨谢利四边形：四边形ABCD中，角A和角B是直角，一组对边AD和BC相等。

其中，AB称为下底，CD称上底，AD和BC称作腰。

在不依赖于平行公理的情况下，无法证明这是一个矩形。但可以得到它的一些性质，一是它两个顶角C和D相等，二是底边的中垂线平分整个四边形，分成全等的两个四边形。

萨氏四边形

定理：若四边形ABCD的四个角都是直角，则每一条从直线CD的一点E所作的对边AB的垂线EF，也垂直于CD.

证明图

如图，已知四边形ABCD的四个角都是直角。E在CD上，EF垂直于AB于点F.求证：FE垂直与CD.

证明过程中，不能使用平行公理，以及任何与平行公理等价的命题，如三角形内角和为两直角，所有三角形的内角和都相同等。

证明：作EF关于AD和BC的镜像点，E1,F1以及E2,F2.这些点在已知直线上。

连接AE,AE1，
AD=AD,
角ADE= 角ADE1
DE=DE1
故[三角形ADE]全等于[三角形ADE1]
故AE=AE1
角EAF=E1AF1

又AF=AF1
所以三角形EAF全等于三角形E1AF1

E1F1=EF，且E1F1垂直于AB

同理E2F2垂直于AB，且E2F2=EF

所以E1F1=E2F2=EF

四边形E1F1F2E2为萨氏四边形，顶角E1=顶角E2
四边形E1F1FE为萨氏四边形，顶角E1=角E1EF
四边形E2F2FE为萨氏四边形，顶角E2=角E2EF

所以，角E2EF=角E1EF
所以FE垂直于CD于点E.

（同时，角E1,角E2也是直角）

定理：若某一个四边形的四个角都是直角，那么，每一个有三个直角的四边形的第四个角也是直角。

证明方法，重叠一个直角。然后构成类似上一个定理的图形，可证明在交点处形成直角，从而证明，第四个角也是直角。

由此，可证明勒让德第二定理。
由给定三角形底边为上底，中位线直线为下底，构造撒氏四边形。可证得该四边形的两个顶角之和与给定三角形三个内角和相等。

然后作萨氏四边形的对称轴，可以得到三个直角的四边形，第四个角为给定三角形内角和的一半。

或者说，三角形的内角和，是对应“三个直角的四边形”的第四个角的两倍。

因此，只要有一个三角形内角和为两个直角，那么它对应的“三直角四边形”第四角就会为直角，于是，所有的“有三个直角的四边形”第四个角都是直角，对应的，所有的三角形内角和就是两个直角。

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补充说明：

《几何原本》第一卷第22定义已经暗示：

存在四个角都是直角的四边形。

通过这个定义，可以移除第五公设，或者，把第五公设恢复到第一卷第18命题。原来的第18命题与第19命题合并成为一个命题。

第22定义，还暗示了，存在一种四边形，四边都相等，而且四个角都是直角，命名为[正方形]。

据此，可用对角线分割之，可以得到两个全等的三角形(SAS证)，每一个三角形内角和都是两个直角。根据勒让德第二定理，可以推导出任意三角形的内角和为两个直角。

欧氏几何的内角和定理同第五公设等价，据此，第五公设可以恢复成为第18命题，作为一个普通命题。

且第四公设强调所有的直角都相等，正可为此处SAS证明全等作铺垫，变更第五公设在《原本》中的位置。