傅立叶变换系列（三）傅立叶变换

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说明：

　　傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换、短时傅里叶变换。。。这些理解和应用都非常难，网上的文章有两个极端：“Esay”  Or  “Boring”！如果单独看一两篇文章就弄懂傅里叶，那说明你真的是大神了。

　　本博文是经过查阅网上几十篇大神的博客、文章、书籍等进行的一个汇总，希望对初学者和我自己一个入门和总结，所以本博文并非原创，抄袭+汇总+修改+总结！

主要参考：

　　1.傅里叶变换到小波变换的风趣讲解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818

　　2.一篇外文的翻译者，讲的非常好，本博文大部分基于此大神的翻译进行的部分优化：http://blog.csdn.net/dznlong

　　3.风趣幽默的讲解傅里叶的由来和一些基础：https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

　　4.网上很多人都基于这篇外文进行的翻译和总结：http://www.dspguide.com/ch8/5.htm，外文得FQ，这里下载之后供大家下载：

　　5.扬州大学的一个PPT讲解傅里叶级数推导，原地址不知道在哪，这里给出好心人上传的百度地址：https://wenku.baidu.com/view/67a0cccdda38376baf1faec4.html

　　6.百度文库关于傅立叶级数到傅立叶变换的详细描述：https://wenku.baidu.com/view/365c63740b4c2e3f57276383.html

　　7.参考的博文在这里或者博文结尾给出，文中直接引用将不再进行说明，请见谅！

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一.傅立叶变换的由来

　　看了前面的两个章节，我们是不是感觉傅立叶级数无敌了？为什么还要傅立叶变换啥玩意呢？　　

　　阅读前面的博文，我们已经清楚的知道如何使用傅立叶级数去描述任何一个周期函数，其中傅里叶级数将一个周期函数描述成离散频率正弦函数的组合，即在频域上离散。然而，我们要分析的函数中常常会有非周期函数，这就需要傅里叶变换而不是傅里叶级数来描述这类函数。频域不同于时域，是从另一个角度观察客观世界的一种方式。其将无限动态的世界看成是注定的和静止的。从频域理解世界，更像是上帝看世界的方式。

　　对于任何一个非周期函数，我们都可以认为其可以通过一个周期函数的周期趋于无穷转化而来。周期趋于无穷也就意味着频率趋于零，以及角速度ω趋于零。也就是说，一个非周期函数会通过傅里叶变换被描述成连续的正弦函数的组合，即在频域上连续。基于这个思想，傅里叶级数即将演化成傅里叶变换。

二.傅立叶变换的理论来历

　　由上面的分析可知，周期T变为无穷大的时候扔可使用傅立叶级数，当然这里有点不严谨，但是数学上无穷小和无穷大就是可以近似逼近，可以说是无差别吧！

　　那么我们就可以把傅立叶级数应用到非周期函数上面了，非周期函数可以看做周期T是无穷大啊！

　　以下是理论部分的推导和证明：

三.傅立叶变换的频谱图

　　　　下面给出了一个金典的例子，其实目的就是想告诉大家：

　　　　　　当T为无穷大的时候，趋向与0，那么画图频谱图的时候就变得连续，和傅里叶级数全然不同！

　　　　其实周期函数是非周期函数的一个特例，可以说傅立叶变换适用于周期和非周期函数，只要满足一些条件(这些条件集体查看上面给的链接)。

四.傅立叶变换的性质

　　傅立叶变换的性质很多，本博文是启发式和记录的目的，这里想深入的朋友请看：https://wenku.baidu.com/view/911f5d67ddccda38376baf41.html

　　记住几个常用的就可以了，证明没必要知道，在下直接复制没有进行证明！

 

五.参考文章

　　　 类似我这种参考别人然后一个总结，说的不是很详细：http://blog.csdn.net/znculee/article/details/48291981

　　 一篇外文，大概看了一点点挺好的：https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/

　　 文中的公式编辑器：http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

　　 部分参考博文开头已经给出，如果有参考没有给出地址的，请告知立马改正！