[小撒学算法]堆排序

小撒是一只好学的小鸭子，这天，小撒在学习算法

二叉堆与最大堆

二叉堆可以被视为完全二叉树，数组和二叉堆的表现形式可以互相转换：

数组与二叉堆的转换

从图中我们可以观察到二叉堆和数组的转换关系；同时也观察到，如何求一个节点的父节点、左右子节点的索引。

而在最大堆（大根堆）中，需要满足在堆中任何节点为根的子堆中，根节点存储着此堆的最大值。如上图所示的，便是一个最大堆。

调整最大堆

现在我们来考虑从两个子最大堆合并最大堆的情况。

最大堆合并调整过程

假设我们要合并根节点为4的两个最大堆[16,14,7,2,8,1]和[10,9,,3]，首先我们先找出4,16,10中的最大者，并交换4和16的位置。因为位置的交换，使得新形成的4,14,7可能违反了最大堆，因此需要进行判断。如此在每次交换后持续判断，直到交换至叶节点，或是新形成的子堆已经符合最大堆为止。

那怎么建立只有2或3个元素的最小堆呢？只要把其中最大的元素交换到根就行啦。

建堆

建堆的过程，便是从下至上的堆合并调整过程。这里我们需要注意到的是，非叶节点开始与Math.floor(arr.length / 2)，我们只需让i由此开始不断递减i来调整堆。

堆排序（heapsort）

在建堆过程后，数组的第一个元素（堆顶）就是最大的元素，我们在这里将其与数组的最后一个元素对换后将其取出数组，然后重新建立size减1的最大堆，不断重复这个过程，就能一次取出数组从大至小的元素了。

代码示例（js）

// 调整堆
const maxHeapify = (arr, root) => {
  let largest = root
  const left = 2 * root + 1
  const right = 2 * root + 2

  if (left < arr.length) {
    if (arr[largest] < arr[left]){
      largest=left
    }
    if (arr[largest] < arr[right]){
      largest=right
    }
    if (largest != root){
      swap(arr, root, largest)
      maxHeapify(arr, largest)
    }
  }
}

// 建堆
const buildMaxHeap = function (arr) {
  for(let i = Math.floor(arr.length / 2) - 1; i >= 0; i--){
    maxHeapify(arr, i)
  }
}

// 堆排序
const heapSort = function(arr){
  const rtn = []
  buildMaxHeap(arr)
  for (let i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
    swap(arr, 0, i)
    rtn.unshift(arr.pop())
    maxHeapify(arr, 0)
  }
  rtn.unshift(arr[0])
  return rtn
}

小结

堆排序的运行时间是O(n * log(n))，同时它是一种原地（in place）排序，只需额外开辟常数个存储空间。