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（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function

The Derivative as a Function 把导数作为一个函数

这里a是一个固定值， 如果把a看成一个变量，就是一个函数了
对应的过程，可以理解成这个函数的导数
（也就是这个方程的导数）

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第1张图片

Other Notations 其他写法

下面都是对应导数的写法
differentiation operators 微分操作
differentiable 可微
（也不理解，为什么把differentiation 翻译成 微分... 细微差别???...）

具体定义

就是 具体求导的运算过程

operation of differentiation, which is the process of calculating a derivative

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第2张图片

其实，所有的写法，都是表示对应的 Δy/Δx， 当Δx -> 0的时候
（以后，其实看见Δ，都可以理解成很小， 趋于0）

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第3张图片

如果我们求某个点的导数，可以这样写

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第4张图片
定理3

如果在一个区域可以有微分操作， 我们叫做 differentiable 可微

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第5张图片

例子：
f(x) = |x| 是否可微？

我们分别求左右的导数， 看左右的微分

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第6张图片
（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第7张图片

考虑下 x=0 的情况

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第8张图片

最后对比，左右的可微：

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第9张图片

最后的结论是：
在0这个点， 左边可微， 右边可微， 但是整体不可微


所以，我们可以写成分段函数
表示分段是成立的


（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第10张图片
定理4

a点可微，在a点一定连续
（我们通过前几节讲的lim，再通过上面的例子，可以理解）


How Can a Function Fail to Be Differentiable?什么时候不可微

上面的 Example 6 的 y = | x |， 说明在 x = 0 是不可微的

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第11张图片

图像上看，上面会有一个 尖角， 也可以理解，左右的极限是不同的
（感觉 differentalbe微分， 想表达的意思是在 different 上）

不连续的时候，不可微


还有就是，有垂直切线（其实，也是左右极限值不一样）

  • 左右极限不同， 不可微
  • 不连续，不可微
  • 有竖直切线，左右极限值不一样，不可微

不可微的情况，对应的图为：

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第12张图片

具体细节，对比：

（2.9）James Stewart Calculus 5th Edition：The Derivative as a Function_第13张图片

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