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问题1:找硬币,换钱的方法
输入:
penny数组代表所有货币的面值,正数不重复
aim小于等于1000,代表要找的钱
输出:
换钱的方法总数
解法1:经典dp,空间复杂度O(n*aim)
class Exchange {
public:
int countWays(vector
if (penny.empty()||n == 0)
return 0;
vector
for (int i = 0;i < n;i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int j = 1;j < aim+1;j++) {
dp[0][j] = j%penny[0] == 0?1:0; //只需要算dp[0][j]
}
for (int i = 1;i < n;i++) {
for (int j = 1;j < aim+1;j++) {
dp[i][j] = (j-penny[i]) >= 0?(dp[i-1][j] + dp[i][j-penny[i]]):dp[i-1][j]; //这是关键,不用管penny【i】到底使用了几次,直接减去1次使用就好
}
}
return dp[n-1][aim];
}
};
解法2:与上面的问题一样,只不过在求dp时只使用1维数组来做;使用迭代,时间复杂度一样:
class Exchange {
public:
int countWays(vector
vector
for (int i = 0; i <= aim; i++)
if (i % penny[0] == 0)
dp[i] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
for (int j = 1; j <= aim; j++)
if ( j >= penny[i]) //条件,如果不满足就直接等于上轮的结果,不用做修改
dp[j] += dp[j - penny[i]];
return dp[aim];
}
};
问题2:跳台阶问题:
其实是斐波那契问题,f(n)=f(n-1)+f(n-2)
#include
using namespace std;
int main(){
int step;
while(cin>>step){
vector
dp[1]=2;
int temp;
for(int i=3;i<=step;i++){
temp=dp[0];
dp[0]=dp[1];
dp[1]=dp[1]+temp;
}
if(step==1) dp[1]=1;;
cout< } return 0; } 问题3:走矩阵,求路劲最小和,或者是求整个路径 n×m的map,则 f(n,m)=min(f(n-1,m),f(n,m-1))+map[n][m]; 由于这里和问题1类似,可以只用到一个一维数组求解; class MinimumPath { public: int getMin(vector vector dp[0] = map[0][0]; for (int i = 1,j = 0;i < m;i++,j++) { dp[i] = map[0][i]+dp[j]; } for (int i = 1;i < n;i++) { dp[0] += map[i][0]; //不能忘了dp[0]的更新 for (int j = 1;j < m;j++) { dp[j] = min(dp[j],dp[j-1])+map[i][j]; //如果求路径,则在这里记录,需要额外存储空间 } } return dp[m-1]; } }; 问题4:最长上升子序列问题(LIS) 解法:O(N方)用dp数组的dp[i]记录下以A[i]结尾的递增子序列中最长的长度,计算dp[i+1]时,遍历A[0~i]找到比A[i+1]小的元素,再比较与这些元素对应的dp数组中的值,找到最大的一个再加1,赋值给dp[i+1]。 class LongestIncreasingSubsequence { public: int getLIS(vector if (A.empty()||n == 0) return 0; vector dp[0] = 1; int resMax = 0; for (int i = 1;i < n;i++) { int tempMax = 0; for (int j = 0;j < i;j++) { if (A[i] > A[j]) tempMax = max(tempMax,dp[j]); } dp[i] = ++tempMax; resMax = max(resMax,dp[i]); //记录最大的上升子序列长度,因为当前i可能并不在最长上升子序列中 } return resMax; } }; 如上的实现复杂度为N方,可以增加归纳的假设,增加b[k]存储长度为k最长子序列最小结尾元素,那么可以利用二分查找,使用logn查找到插入点,对于每次比较,要么直接比较b【k】比它大直接k+1,更新b【k+1】,要么二分查找到位置,更新b【j】,所以最终复杂度为nlogn(如果数据量大的话,使用该算法较好) 问题5:最长公共子序列长度(LCS) 上图可以看出使用了斜侧的比较,所以不能再使用1维数组了 class LCS { public: int findLCS(string A, int n, string B, int m) { if (A.empty()||n==0||B.empty()||m==0) return 0; vector //下面是两个for的初始化,当出现第一个相等的时,后面的都直接赋值为1; for (int i = 0;i < m;i++) { if (A[0] == B[i]) { for (int j = i;j < m;j++) dp[0][j] = 1; break ; } } for (int i = 0;i < n;i++) { if (B[0] == A[i]) { for (int j = i;j < n;j++) dp[j][0] = 1; break ; } } for (int i = 1;i < n;i++) { for (int j = 1;j < m;j++) { if (A[i] == B[j]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1; else dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); } } return dp[n-1][m-1]; } }; 上面的方法中初始化第一行和第一列有点麻烦,增加了额外的语句,可以增加数组一行和一列来优化代码: class LCS { public: int findLCS(string A, int n, string B, int m) { vector for (int i =1;i<=n ;++i){ for (int j=1; j<=m; ++j){ if (A[i-1] == B[j-1]){ dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1; //第1行也可以照此直接初始化 } else { dp[i][j] = max( dp[i-1][j] ,dp[i][j-1]); } } } return dp[n][m]; } }; 问题6:背包 N件物品,价值记录在数组V,重量记录在数组W,背包总重量最大为cap,要求总价值最大; class Backpack { public: int maxValue(vector if (w.empty()||v.empty()||n==0||cap==0) return 0; vector for (int j = 1;j < cap+1;j++) { dp[0][j] = w[0] <= j?v[0]:0; } for (int i = 0;i < n;i++) { dp[i][0] = 0; } for (int i = 1;i < n;i++) { for (int j = 1;j < cap+1;j++) { if (w[i] > j) dp[i][j] = dp[i-1][j]; else dp[i][j] = max(dp[i-1][j],v[i]+dp[i-1][j-w[i]]); //由于该问题每个物品最多只能放1件,如果不限制个数的话,则在这里修改条件 } } return dp[n-1][cap]; } }; 由于没有用到斜侧的比较,所以可以使用1维的数组: class Backpack { public: int maxValue(vector if (w.empty()||v.empty()||n==0||cap==0) return 0; vector for (int i = 0;i < n;i++) { vector for (int j = 1;j < cap+1;j++) { dp[j] = j < w[i]?last[j]:max(last[j],v[i]+last[j-w[i]]); } } return dp[cap]; } };